Calcule \lim _{(x, y) \rightarrow(1,-2)} \frac{5 x^{2}+y^{2}+x^{3}}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando (x,y) se aproxima do ponto (1,-2):
\lim_{(x,y)\to(1,-2)} \frac{5x^{2}+y^{2}+x^{3}}{x^{2}+y^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • A função cujo limite é pedido é a função racional \dfrac{5x^{2}+y^{2}+x^{3}}{x^{2}+y^{2}}.
  • O ponto de aproximação é (1,-2).
  • O que se quer: o valor do limite quando (x,y) tende a (1,-2).

Passo 2

Por que verificar o denominador é importante? Se no ponto de interesse o denominador for igual a zero, a função pode não estar definida aí e a análise do limite exigiria mais cuidado (por exemplo, estudar limites por caminhos). Se o denominador for diferente de zero no ponto, então a função é obtida por operações algébricas de polinômios e frações e pode-se geralmente avaliar o limite por substituição direta. Vamos calcular o denominador no ponto dado:
x^{2}+y^{2}\Big|_{(1,-2)} = 1^{2}+(-2)^{2}.

Passo 3

Calculemos os termos numéricos:
1^{2}=1,\qquad (-2)^{2}=4,
logo
x^{2}+y^{2}\Big|_{(1,-2)} = 1+4=5.
Como 5\neq 0, o denominador no ponto é não nulo. Isso é ótimo porque permite usar a propriedade de continuidade a seguir.

Passo 4

Explicando a propriedade usada (em linguagem simples): polinômios são funções contínuas em todos os pontos; somas e produtos de funções contínuas são contínuos; e o quociente de duas funções contínuas é contínuo em qualquer ponto onde o denominador não é zero. Portanto, se o numerador e o denominador são funções polinomiais (logo contínuas) e o denominador avaliado no ponto é diferente de zero, o limite da fração quando (x,y) tende ao ponto é simplesmente o valor da fração no ponto (substituição direta).

Passo 5

Calcular o numerador no ponto (1,-2):
5x^{2}+y^{2}+x^{3}\Big|_{(1,-2)} = 5\cdot 1^{2} + (-2)^{2} + 1^{3}.
Agora as contas:
5\cdot 1^{2} = 5,\qquad (-2)^{2}=4,\qquad 1^{3}=1,
portanto
5x^{2}+y^{2}+x^{3}\Big|_{(1,-2)} = 5+4+1 = 10.

Passo 6

Como a função é contínua no ponto (denominador não nulo), o limite é o quociente dos valores calculados:
\lim_{(x,y)\to(1,-2)} \frac{5x^{2}+y^{2}+x^{3}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{10}{5}.

Resposta

2

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