Calcule os limites, caso exista.
(e) lim
\frac{x s e n y}{x^{4}+y^{4}}
(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \rightarrow(0,0)

Passo 1

O enunciado pede o limite quando (x,y) tende a (0,0) da função abaixo:
\frac{x \sin y}{x^{4}+y^{4}}.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{x\sin y}{x^{4}+y^{4}}.
  • O ponto de interesse é (x,y)\to(0,0).
    O que se pede: determinar se existe o limite e, se existir, calcular seu valor.

Passo 2

Breve lembrete didático sobre limites em duas variáveis (pra gente se acalmar antes de mexer nas contas):
  • Em \mathbb{R}^2, para a existência do limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) é necessário e suficiente que todo caminho ou toda sequência (x_n,y_n)\to(0,0) gere o mesmo resultado.
  • Uma técnica padrão pra mostrar que o limite NÃO existe é encontrar dois caminhos (ou duas sequências) que levam a dois valores distintos (ou um finito e outro que diverge).
    Vou usar essa técnica: avaliar f em pelo menos dois caminhos que chegam a (0,0) e comparar os resultados.

Passo 3

Caminho 1: y=0. Substituindo:
f(x,0)=\frac{x\sin 0}{x^{4}+0^{4}}=\frac{x\cdot 0}{x^{4}}=0.
Logo, ao aproximar (x,y)\to(0,0) ao longo da reta y=0 obtemos valor 0. Ou seja, a restrição da função a esse caminho tende a 0.

Passo 4

Caminho 2: y=x. Substituindo y=x na função:
f(x,x)=\frac{x\sin x}{x^{4}+x^{4}}=\frac{x\sin x}{2x^{4}}=\frac{\sin x}{2x^{3}}.
Agora vamos analisar o comportamento de \dfrac{\sin x}{2x^{3}} quando x\to 0.

Passo 5

Usando a equivalência conhecida para pequenas variáveis: \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1. Isso significa que, quando x\to 0,
\sin x = x\bigl(1+o(1)\bigr),
onde o(1) é uma quantidade que tende a 0. Substituindo na expressão de f(x,x):
\frac{\sin x}{2x^{3}}=\frac{x(1+o(1))}{2x^{3}}=\frac{1+o(1)}{2x^{2}}.
Quando x\to 0, \dfrac{1+o(1)}{2x^{2}}\to +\infty. Portanto, ao aproximar pela reta y=x a função diverge para +\infty: não se aproxima de um número finito.
(Para ficar ainda mais concreto, pode-se tomar a sequência x_n=\dfrac{1}{n}>0. Então
f\bigl(x_n,x_n\bigr)=\frac{\sin(1/n)}{2(1/n)^{3}}=\frac{n^{3}\sin(1/n)}{2}\sim\frac{n^{3}(1/n)}{2}=\frac{n^{2}}{2}\to+\infty,
confirmando a divergência.)

Passo 6

Conclusão lógica: ao longo do caminho y=0 a função tende a 0; ao longo do caminho y=x a função tende a +\infty. Como os limites ao longo de dois caminhos diferentes não coincidem (um é 0 e o outro não é um número finito), o limite em (0,0) da função \dfrac{x\sin y}{x^{4}+y^{4}} NÃO existe.

Resposta

Não existe.

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