Calcule os limites, caso exista.
(e) lim
(e) lim
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende a
da função abaixo:
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto de interesse é
.
O que se pede: determinar se existe o limite e, se existir, calcular seu valor.
Passo 2
Breve lembrete didático sobre limites em duas variáveis (pra gente se acalmar antes de mexer nas contas):
- Em
, para a existência do limite é necessário e suficiente que todo caminho ou toda sequência gere o mesmo resultado. - Uma técnica padrão pra mostrar que o limite NÃO existe é encontrar dois caminhos (ou duas sequências) que levam a dois valores distintos (ou um finito e outro que diverge).
Vou usar essa técnica: avaliarem pelo menos dois caminhos que chegam a e comparar os resultados.
Passo 3
Caminho 1:
. Substituindo:
Logo, ao aproximar
ao longo da reta
obtemos valor
. Ou seja, a restrição da função a esse caminho tende a
.
Passo 4
Caminho 2:
. Substituindo
na função:
Agora vamos analisar o comportamento de
quando
.
Passo 5
Usando a equivalência conhecida para pequenas variáveis:
. Isso significa que, quando
,
onde
é uma quantidade que tende a
. Substituindo na expressão de
:
Quando
,
. Portanto, ao aproximar pela reta
a função diverge para
: não se aproxima de um número finito.
(Para ficar ainda mais concreto, pode-se tomar a sequência
. Então
confirmando a divergência.)
Passo 6
Conclusão lógica: ao longo do caminho
a função tende a
; ao longo do caminho
a função tende a
. Como os limites ao longo de dois caminhos diferentes não coincidem (um é
e o outro não é um número finito), o limite em
da função
NÃO existe.
Resposta
Não existe.