Calcule o estado estacionário para o sistema de reações
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o estado estacionário para o sistema de reações
.
Informações e suposições que vamos usar (tudo inferido do enunciado padrão para este tipo de problema):
- As reações são elementares e obedecem à cinética de massa-ação.
- Denotamos as constantes de velocidade:
- para
: , - para
: , - para
: , - para
: .
- para
- Denotamos as concentrações por
, , . - O sistema é fechado (sem entrada/saída) e a massa total é conservada:
onde é conhecido (ou permanece como parâmetro). - O objetivo é achar as concentrações no estado estacionário (tempo longo, derivadas temporais nulas), em função das constantes de velocidade (ou em função de constantes de equilíbrio).
Passo 2
Esclarecimento da lei de massa-ação e escrita das equações cinéticas.
Lei de massa-ação: a velocidade de uma reação elementar é proporcional ao produto das concentrações dos reagentes, com constante de proporcionalidade igual à constante de velocidade.
Aplicando isso ao sistema temos as equações diferenciais (cada termo é uma taxa):
Explicando cada termo: em
,
é a perda de
por conversão em
e
é ganho por conversão de
em
. As demais equações seguem o mesmo raciocínio.
Passo 3
Definição de estado estacionário e aplicação.
Estado estacionário significa concentrações constantes no tempo, ou seja:
Vamos impor essas igualdades às equações do passo anterior.
Passo 4
Usar a primeira e a última equações em estado estacionário para relacionar concentrações.
Da primeira equação em estado estacionário:
Definimos a constante de equilíbrio parcial
Portanto:
Da última equação em estado estacionário:
Definimos
Assim:
Passo 5
Combinar as relações obtidas para expressar
e
em função de
.
Já temos
. Substituindo em
obtemos:
Passo 6
Usar a conservação da massa para determinar
.
A conservação dá:
Substituindo
e
:
Logo isolamos
:
Aqui
e
, como definido antes.
Passo 7
Determinar
e
a partir de
.
Usando as relações:
Se preferir escrever tudo explicitamente em termos das constantes de velocidade
, basta substituir
e
. Uma forma equivalente, sem usar
, é:
Passo 8
Interpretação rápida e dicas para a prova.
- O raciocínio central é: em estado estacionário sem fluxo externo, as taxas direta e reversa de cada ligação se igualam, levando às relações
e . - Sempre verifique conservação de massa se o sistema for fechado; isso fornece a equação extra necessária para fixar os valores absolutos (ainda que só as proporções já possam ser obtidas pelas constantes de equilíbrio).
- Se houver aporte ou remoção (sistema aberto), o estado estacionário pode não satisfazer as relações de equilíbrio local e aí seria preciso resolver o sistema linear completo com termos de entrada/saída.
Resposta
onde
e
.