Uma solução padrão de ferro foi diluída para se obter as concentrações mostradas abaixo. O complexo de Fe(II)-1,10-fenantrolina, que possui coloração avermelhada, foi quantificado utilizando cubetas de 1 cm de caminho óptico, no comprimento de onda de 510 nm .
[\mathrm{Fe}(\mathrm{II})], \mathrm{ppm} \mathrm{A}_{510}
4,00 0,160
10,0 0,390
16,0 0,630
24,0 0,950
32,0 1,260
a. esquematize sem o uso de software; ou seja, na mão; a curva de calibração (absorbância em função da concentração)
b. calcule (neste item você pode usar calculadora, mas precisa mostrar como este cálculo foi feito) a concentração de ferro presente em uma amostra que apresentou absorbância igual a 0, 792 ; 0,788 e 0,795 (triplicata).

Passo 1

O enunciado nos dá uma série de soluções-padrão de ferro (Fe(II)) complexado com 1,10-fenantrolina medida em cubeta de caminho óptico 1\\ \text{cm} a 510\\ \text{nm}. Os pares concentração–absorbância fornecidos (peguei estes valores do enunciado) são:
  • \, [\mathrm{Fe(II)}] = 4{,}00\\ \text{ppm},\; A_{510}=0{,}160
  • \, [\mathrm{Fe(II)}] = 10{,}0\\ \text{ppm},\; A_{510}=0{,}390
  • \, [\mathrm{Fe(II)}] = 16{,}0\\ \text{ppm},\; A_{510}=0{,}630
  • \, [\mathrm{Fe(II)}] = 24{,}0\\ \text{ppm},\; A_{510}=0{,}950
  • \, [\mathrm{Fe(II)}] = 32{,}0\\ \text{ppm},\; A_{510}=1{,}260
O enunciado pede duas coisas:
a. Esquematizar (desenhar à mão) a curva de calibração: absorbância em função da concentração.
b. Calcular a concentração de ferro em uma amostra que deu absorbâncias em triplicata A_{510}=0{,}792, 0{,}788 e 0{,}795.

Passo 2

Conceito-prático e plano de ataque (aula rapidinha, mas necessária)
  • A lei de Beer–Lambert diz que, idealmente, a absorbância A é linear com a concentração c:
A = \varepsilon\, b\, c,
onde \varepsilon é o coeficiente de extinção molar (constante para o sistema e comprimento de onda), b é o caminho óptico (aqui 1\\ \text{cm}) e c é a concentração. Na prática montamos uma curva de calibração empírica e ajustamos uma reta do tipo
A = m\,c + b,
em que m é a inclinação (sensibilidade, unidades \text{A}/\text{ppm}) e b é o intercepto (absorbância quando c=0).
  • Para produzir a curva: desenhar e posicionar os pontos (c, A) no gráfico (eixo x = concentração em \text{ppm}, eixo y = A_{510}). O pedido (a) quer o desenho à mão; eu vou passar exatamente como traçar a reta de calibração: usar ajuste por mínimos quadrados (evita vies do “olhômetro”) e fornecer a equação da reta para converter absorbâncias em concentrações.
  • Para o ajuste linear (mínimos quadrados) usamos as fórmulas, que vou explicar e calcular passo a passo:
m = \frac{n\sum x_i y_i - \left(\sum x_i\right)\left(\sum y_i\right)}{n\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2}, \qquad b = \frac{\sum y_i - m\sum x_i}{n},
onde x_i são as concentrações (ppm), y_i as absorbâncias, e n o número de pontos (aqui n=5).

Passo 3

Calcular as somas necessárias (vou mostrar como foi feito):
Listo os dados e calculo:
\begin{array}{c|c|c|c} x_i\\ (\text{ppm}) & y_i=A_{510} & x_i^2\\ & x_i y_i\\\ \hline 4{,}00 & 0{,}160 & 16{,}00 & 0{,}640\\\\ 10{,}0 & 0{,}390 & 100{,}0 & 3{,}900\\\\ 16{,}0 & 0{,}630 & 256{,}0 & 10{,}080\\\\ 24{,}0 & 0{,}950 & 576{,}0 & 22{,}800\\\\ 32{,}0 & 1{,}260 & 1024{,}0 & 40{,}320\\\ \hline \text{Totais:} & & & \\\ \sum x_i = 86{,}0 & \sum y_i = 3{,}390 & \sum x_i^2 = 1972{,}0 & \sum x_i y_i = 77{,}740 \end{array}
(Observação: para \sum x_i y_i somei 0{,}640+3{,}900+10{,}080+22{,}800+40{,}320=77{,}740.)
Agora aplico as fórmulas com n=5:
m = \frac{5\cdot 77{,}740 - 86{,}0\cdot 3{,}390}{5\cdot 1972 - 86{,}0^2}.
Faço as multiplicações:
5\cdot 77{,}740 = 388{,}700,\qquad 86{,}0\cdot 3{,}390 = 291{,}540.
Numerador:
388{,}700 - 291{,}540 = 97{,}160.
Denominador:
5\cdot 1972 = 9{,}860,\qquad 86{,}0^2 = 7{,}396,
9{,}860 - 7{,}396 = 2{,}464.
Portanto
m = \frac{97{,}160}{2{,}464} = 0{,}0394318\\ \text{(aprox.)}.
Agora o intercepto:
b = \frac{\sum y_i - m\sum x_i}{n} = \frac{3{,}390 - 0{,}0394318\cdot 86{,}0}{5}.
Calculo m\sum x_i:
0{,}0394318\cdot 86{,}0 \approx 3{,}3911368.
Então
\sum y_i - m\sum x_i = 3{,}390 - 3{,}3911368 = -0{,}0011368,
b = \frac{-0{,}0011368}{5} = -0{,}0002273\\ \text{(aprox.)}.
Conclusão do ajuste (equação da reta de calibração):
A_{510} = 0{,}03943\;c_{\text{(ppm)}} - 0{,}0002273.
(Dica prática: o intercepto é praticamente zero — a reta passa quase pela origem, como era de esperar.)

Passo 4

Como esboçar à mão a curva de calibração (instruções passo a passo para desenhar):
  1. Desenhe um eixo x (concentração em ppm) e eixo y (absorbância). Use uma folha quadriculada para ficar mais certinho.
  2. Coloque no eixo x de 0 a 35\\ \text{ppm} (cada divisão pode ser 2\\ \text{ppm} ou 4\\ \text{ppm} conforme sua folha). No eixo y coloque de 0 a 1{,}4 (cada divisão 0{,}1 é bom).
  3. Marque os pontos fornecidos: (4{,}00;0{,}160), (10{,}0;0{,}390), (16{,}0;0{,}630), (24{,}0;0{,}950), (32{,}0;1{,}260).
  4. Para traçar a reta de calibração exata (sem régua fazer “a olho” pode dar erro), posso dar dois pontos desta reta para você ligar com régua:
    • Para c=0{,}0\\ \text{ppm}: A = -0{,}0002273 (praticamente 0).
    • Para c=32{,}0\\ \text{ppm}: A = 0{,}03943\times 32{,}0 - 0{,}0002273 \approx 1{,}2616.
      Ligue esses dois pontos com régua — essa é a reta de calibração. Coloque os pontos experimentais e verifique que estão muito próximos da reta. Isso é o esboço pedido no item (a).

Passo 5

Converter as absorbâncias da amostra em concentrações (item b).
  • Fórmula inversa (da reta): c = \frac{A - b}{m}.
Vamos calcular para cada absorbância (mostrando os passos aritméticos):
Dados do ajuste: m = 0{,}0394318 e b = -0{,}0002273.
  1. Para A=0{,}792:
A - b = 0{,}792 - (-0{,}0002273) = 0{,}7922273.
c_1 = \frac{0{,}7922273}{0{,}0394318} \approx 20{,}086\\ \text{ppm}.
  1. Para A=0{,}788:
A - b = 0{,}788 + 0{,}0002273 = 0{,}7882273,
c_2 = \frac{0{,}7882273}{0{,}0394318} \approx 19{,}989\\ \text{ppm}.
  1. Para A=0{,}795:
A - b = 0{,}795 + 0{,}0002273 = 0{,}7952273,
c_3 = \frac{0{,}7952273}{0{,}0394318} \approx 20{,}166\\ \text{ppm}.
(Se preferir fazer as divisões mentalmente: note que 1/m \approx 25{,}36, então c\approx 25{,}36\cdot A + 0{,}00576; a conta direta acima é mais precisa.)

Passo 6

Estatística básica da triplicata (para reportar um valor único):
  • Média:
\bar c = \frac{c_1 + c_2 + c_3}{3} = \frac{20{,}086 + 19{,}989 + 20{,}166}{3} \approx 20{,}080\\ \text{ppm}.
  • Desvio-padrão amostral (para ter uma noção da repetibilidade):
s = \sqrt{\frac{\sum (c_i - \bar c)^2}{n-1}} \approx 0{,}088\\ \text{ppm}.
  • Erro padrão da média:
\text{SE} = \frac{s}{\sqrt{3}} \approx 0{,}051\\ \text{ppm}.
Interpretação prática: a triplicata dá média \approx 20{,}08\\ \text{ppm} com desvio típico entre réplicas da ordem de 0{,}09\\ \text{ppm}. Em relatórios de laboratório costuma-se apresentar 20{,}08\\ \pm 0{,}09\\ \text{ppm} (onde o \pm é o desvio-padrão) ou 20{,}08 \pm 0{,}05\\ \text{ppm} (onde \pm é o erro padrão da média).

Resposta

(a) Equação da curva de calibração (reta por mínimos quadrados):
A_{510} = 0{,}03943\;c_{\text{(ppm)}} - 0{,}0002273.
Pontos para desenhar a reta: (0{,}0;\,-0{,}00023) e (32{,}0;\,1{,}2616).
(b) Concentrações obtidas na triplicata:
c_1 = 20{,}086\\ \text{ppm}
c_2 = 19{,}989\\ \text{ppm}
c_3 = 20{,}166\\ \text{ppm}
Média e dispersão:
\bar c = 20{,}080\\ \text{ppm} (desvio-padrão s\approx 0{,}088\\ \text{ppm}; erro-padrão \approx 0{,}051\\ \text{ppm}).

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