Calcule E[X] se X tem uma função densidade dada por
f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{4} x e^{-x / 2}, & x>0 \\\\ 0, & \text { c.c. }\end{array}\right.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:\n
  • Foi dada a função densidade de probabilidade
f_{X}(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{4}\,x\,e^{-x/2}, & x>0,\\[6pt] 0,&\text{c.c.} \end{cases}
  • O enunciado pede calcular a esperança (valor esperado) de X, ou seja E[X].]

Passo 2

Definição e ideia para calcular E[X].\n
  • Para uma variável aleatória contínua com densidade f_X(x), a esperança é definida por
E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f_X(x)\,dx.
Aqui x é a variável de integração (o valor possível da variável aleatória) e dx indica soma/integral sobre todos os valores. No nosso caso a densidade é zero para x\le0, então o integral se reduz a partir de 0 até +\infty.

Passo 3

Substituir a densidade na fórmula de E[X] e simplificar a expressão.\n
E[X]=\int_{0}^{\infty} x\cdot \frac{1}{4}x e^{-x/2}\,dx=\frac{1}{4}\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x/2}\,dx.
Chamemos
I=\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x/2}\,dx,
para calcular primeiro I.

Passo 4

Calcular I=\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x/2}\,dx por integração por partes (primeira aplicação).\n
  • Escolher u=x^{2} e dv=e^{-x/2}\,dx. Então du=2x\,dx e
v=\int e^{-x/2}\,dx=-2e^{-x/2}.
  • A fórmula de integração por partes dá
I=\left. u v \right|_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty} v\,du.
  • Avaliando o termo de fronteira:
\left. x^{2}(-2e^{-x/2})\right|_{0}^{\infty}= \lim_{x\to\infty} (-2x^{2}e^{-x/2}) - (0) = 0,
pois e^{-x/2} decai exponencialmente mais rápido que x^{2} cresce, logo o limite é zero.
  • Então
I = -\int_{0}^{\infty} (-2e^{-x/2})\cdot(2x\,dx)=4\int_{0}^{\infty} x e^{-x/2}\,dx.
Definimos agora
J=\int_{0}^{\infty} x e^{-x/2}\,dx,
para calcular J.

Passo 5

Calcular J=\int_{0}^{\infty} x e^{-x/2}\,dx por integração por partes (segunda aplicação).\n
  • Escolher u=x e dv=e^{-x/2}\,dx. Então du=dx e v=-2e^{-x/2}.
  • Aplicando integração por partes:
J=\left. x(-2e^{-x/2})\right|_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty} (-2e^{-x/2})\,dx.
  • O termo de fronteira é zero pelo mesmo motivo ( x e^{-x/2}\to0 quando x\to\infty ) e no x=0 dá zero. Assim
J=2\int_{0}^{\infty} e^{-x/2}\,dx.
  • Calcular o integral simples:
\int_{0}^{\infty} e^{-x/2}\,dx=\left. -2e^{-x/2}\right|_{0}^{\infty}=0-(-2)=2.
  • Portanto
J=2\cdot 2=4.

Passo 6

Voltar para I e então para E[X].\n
  • Como I=4J (do Passo 4) e J=4 (do Passo 5), segue que
I=4\cdot 4=16.
  • Substituindo em E[X]=\dfrac{1}{4}I, obtém-se
E[X]=\dfrac{1}{4}\cdot 16.

Passo 7

Observação alternativa (atalho com distribuição Gama).\n
  • A densidade dada pode ser reconhecida como uma distribuição Gama com parâmetros k=2 (forma) e \theta=2 (escala), pois a densidade da Gama é
f(x)=\frac{1}{\Gamma(k)\theta^{k}} x^{k-1} e^{-x/\theta}.
  • Para k=2 e \theta=2 tem-se \Gamma(2)=1 e \theta^{2}=4, recuperando a densidade dada. A esperança da Gama é E[X]=k\theta, o que também dá o mesmo resultado final.

Resposta

4

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