Calcule E[X] se X tem uma função densidade dada por f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{4} x e^{-x / 2}, & x>0 \\\\ 0, & \text { c.c. }\end{array}\right.
O enunciado pede calcular a esperança (valor esperado) de X, ou seja E[X].]
Passo 2
Definição e ideia para calcular E[X].\n
Para uma variável aleatória contínua com densidade f_X(x), a esperança é definida por
E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f_X(x)\,dx.
Aqui x é a variável de integração (o valor possível da variável aleatória) e dx indica soma/integral sobre todos os valores. No nosso caso a densidade é zero para x\le0, então o integral se reduz a partir de 0 até +\infty.
Passo 3
Substituir a densidade na fórmula de E[X] e simplificar a expressão.\n
Para k=2 e \theta=2 tem-se \Gamma(2)=1 e \theta^{2}=4, recuperando a densidade dada. A esperança da Gama é E[X]=k\theta, o que também dá o mesmo resultado final.