Suponha que X tenha função densidade de probabilidade f_{X}. Determine a função densidade de probabilidade da variável aleatória Y definida como Y=a X+b.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
Dado: X é uma variável aleatória com função densidade de probabilidade f_{X}.
Definição: Y=aX+b, com a,b\in\mathbb{R} constantes.
Pedido: determinar a função densidade de probabilidade de Y.
Informações relevantes a anotar:
É necessário considerar o caso a\neq0, pois se a=0 então Y=b é constante (variável degenerada) e não tem densidade usual.
Para a\neq0 espera-se uma fórmula que relacione f_{Y} com f_{X}.
Passo 2
Estratégia básica (método pelo CDF): construir a função de distribuição acumulada (CDF) de Y,
F_{Y}(y)=\Pr(Y\le y),
e então obter a densidade por diferenciação:
f_{Y}(y)=\frac{d}{dy}F_{Y}(y).
Este método é elementar e funciona bem para transformações monotônicas de X, como Y=aX+b quando a\neq0.
Passo 3
Calcular F_{Y}(y) quando a>0. Para a>0 a desigualdade mantém o sentido:
Esse é o mesmo resultado, e é a forma mais geral para transformações lineares.
Passo 7
Casos especiais e exemplos rápidos para fixar:
Se a=0\), então \(Y=b\) quase seguramente; \(Y\) é degenerada em \(b\) e não possui densidade no sentido usual (tem massa pontual em \(b\)).
- Exemplo 1: \(X\sim\) Uniforme\((0,1)\), \(a=2\), \(b=3\). Então
\[f_{Y}(y)=\frac{1}{2}f_{X}\!\left(\frac{y-3}{2}\right) =\begin{cases} \dfrac{1}{2}, & 3<y<5,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}