Suponha que X tenha função densidade de probabilidade f_{X}. Determine a função densidade de probabilidade da variável aleatória Y definida como Y=a X+b.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dado: X é uma variável aleatória com função densidade de probabilidade f_{X}.
  • Definição: Y=aX+b, com a,b\in\mathbb{R} constantes.
  • Pedido: determinar a função densidade de probabilidade de Y.
Informações relevantes a anotar:
  • É necessário considerar o caso a\neq0, pois se a=0 então Y=b é constante (variável degenerada) e não tem densidade usual.
  • Para a\neq0 espera-se uma fórmula que relacione f_{Y} com f_{X}.

Passo 2

Estratégia básica (método pelo CDF): construir a função de distribuição acumulada (CDF) de Y,
F_{Y}(y)=\Pr(Y\le y),
e então obter a densidade por diferenciação:
f_{Y}(y)=\frac{d}{dy}F_{Y}(y).
Este método é elementar e funciona bem para transformações monotônicas de X, como Y=aX+b quando a\neq0.

Passo 3

Calcular F_{Y}(y) quando a>0. Para a>0 a desigualdade mantém o sentido:
F_{Y}(y)=\Pr(aX+b\le y)=\Pr\!\left(X\le\frac{y-b}{a}\right)=F_{X}\!\left(\frac{y-b}{a}\right).
Agora aplicamos a regra da cadeia ao derivar em relação a y:
f_{Y}(y)=\frac{d}{dy}F_{Y}(y)=\frac{d}{dy}F_{X}\!\left(\frac{y-b}{a}\right) =F_{X}'\!\left(\frac{y-b}{a}\right)\cdot\frac{d}{dy}\left(\frac{y-b}{a}\right).
Como F_{X}'=f_{X} e \dfrac{d}{dy}\left(\dfrac{y-b}{a}\right)=\dfrac{1}{a}, obtemos, para a>0,
f_{Y}(y)=\frac{1}{a}\,f_{X}\!\left(\frac{y-b}{a}\right).

Passo 4

Calcular F_{Y}(y) quando a<0. Para a<0 a desigualdade inverte-se:
F_{Y}(y)=\Pr(aX+b\le y)=\Pr\!\left(X\ge\frac{y-b}{a}\right)=1-F_{X}\!\left(\frac{y-b}{a}\right).
Diferenciando,
f_{Y}(y)=\frac{d}{dy}F_{Y}(y)=-\frac{d}{dy}F_{X}\!\left(\frac{y-b}{a}\right) =-F_{X}'\!\left(\frac{y-b}{a}\right)\cdot\frac{1}{a}.
Usando F_{X}'=f_{X} e lembrando que a<0, isso dá
f_{Y}(y)=-\frac{1}{a}\,f_{X}\!\left(\frac{y-b}{a}\right)=\frac{1}{|a|}\,f_{X}\!\left(\frac{y-b}{a}\right).

Passo 5

Unificando os casos a>0 e a<0 tem-se a fórmula geral (para a\neq0):
f_{Y}(y)=\frac{1}{|a|}\,f_{X}\!\left(\frac{y-b}{a}\right).
Aqui a presença do valor absoluto |a| vem da necessidade de ter densidade não-negativa e da derivada com possível inversão do sinal quando a<0.

Passo 6

Interpretação via mudança de variável (verificação alternativa, útil para provas):
  • Considere a transformação inversa x=\varphi(y)=\dfrac{y-b}{a}. Então dx/dy=1/a e |dx/dy|=1/|a|.
  • A densidade transforma-se por multiplicação pelo jacobiano absoluto:
f_{Y}(y)=f_{X}\bigl(\varphi(y)\bigr)\,\biggl|\frac{dx}{dy}\biggr| =\frac{1}{|a|}\,f_{X}\!\left(\frac{y-b}{a}\right).
Esse é o mesmo resultado, e é a forma mais geral para transformações lineares.

Passo 7

Casos especiais e exemplos rápidos para fixar:
  • Se a=0\), então \(Y=b\) quase seguramente; \(Y\) é degenerada em \(b\) e não possui densidade no sentido usual (tem massa pontual em \(b\)). - Exemplo 1: \(X\sim\) Uniforme\((0,1)\), \(a=2\), \(b=3\). Então \[f_{Y}(y)=\frac{1}{2}f_{X}\!\left(\frac{y-3}{2}\right) =\begin{cases} \dfrac{1}{2}, & 3<y<5,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
Ou seja, Y\sim\] Uniforme\((3,5).
  • Exemplo 2: X\sim Uniforme (0,1), a=-1, b=0. Então
f_{Y}(y)=\frac{1}{1}f_{X}\!\left(\frac{y}{-1}\right)=f_{X}(-y),
o que dá densidade igual a 1 em (-1,0) — reflexão e deslocamento conforme esperado.]

Resposta

Para a\neq0: f_{Y}(y)=\frac{1}{|a|}\,f_{X}\!\left(\frac{y-b}{a}\right).
Para a=0: Y=b quase certamente (variável degenerada, sem densidade no sentido usual).

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