Calcule, se existir, o limite da função quando
. Caso o limite não exista, justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite da função $ f(x, y) $ quando os pontos
se aproximam de
. A função é dada por:
Para resolver esse tipo de limite em duas variáveis, vamos verificar se o limite é o mesmo ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos. Se encontrarmos caminhos que resultam em limites diferentes, isso significa que o limite não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o limite ao longo do eixo $ x $, ou seja, quando $ y = 0 $. Substituindo $ y = 0 $ na função:
Portanto, ao nos aproximarmos de
pelo eixo $ x $, o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite ao longo do eixo $ y $, ou seja, quando $ x = 0 $. Substituindo $ x = 0 $ na função:
Então, ao nos aproximarmos de
pelo eixo $ y $, o limite também é 0.
Passo 4
Embora tenhamos obtido o limite 0 por dois caminhos diferentes, isso não garante que o limite exista. Precisamos verificar outros caminhos para ter certeza. Vamos considerar um caminho onde $ y = \sqrt{x} $. Substituindo $ y = \sqrt{x} $ na função:
Ao nos aproximarmos de
pelo caminho $ y = \sqrt{x} $, o limite é
.
Passo 5
Observe que ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos, obtemos limites diferentes:
- Pelo eixo $ x $ ou $ y $, o limite é 0.
- Pelo caminho $ y = \sqrt{x} $, o limite é
.
Como os limites dependem do caminho escolhido, isso significa que o limite da função $ f(x, y) $ quando
não existe.
Resposta
O limite da função $ f(x, y) $ quando
não existe, pois diferentes caminhos levam a valores de limite distintos.