Calcule, se existir, o limite da função quando (x, y) (0,0). Caso o limite não exista, justifique sua resposta.
x y^2x^2+y^4, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite da função $ f(x, y) $ quando os pontos f(x, y) se aproximam de (x, y). A função é dada por:
(0,0)
Para resolver esse tipo de limite em duas variáveis, vamos verificar se o limite é o mesmo ao nos aproximarmos de f(x, y)= x y^2x^2+y^4, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0) por diferentes caminhos. Se encontrarmos caminhos que resultam em limites diferentes, isso significa que o limite não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite ao longo do eixo $ x $, ou seja, quando $ y = 0 $. Substituindo $ y = 0 $ na função:
x
Portanto, ao nos aproximarmos de y = 0 pelo eixo $ x $, o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite ao longo do eixo $ y $, ou seja, quando $ x = 0 $. Substituindo $ x = 0 $ na função:
y
Então, ao nos aproximarmos de x = 0 pelo eixo $ y $, o limite também é 0.

Passo 4

Embora tenhamos obtido o limite 0 por dois caminhos diferentes, isso não garante que o limite exista. Precisamos verificar outros caminhos para ter certeza. Vamos considerar um caminho onde $ y = \sqrt{x} $. Substituindo $ y = \sqrt{x} $ na função:
y = raizx
Ao nos aproximarmos de y = raizx pelo caminho $ y = \sqrt{x} $, o limite é f(x, raizx) = x cdot (raizx)^2x^2+(raizx)^4 = x cdot xx^2+x^2 = x^22x^2 = 12 .

Passo 5

Observe que ao nos aproximarmos de (0,0) por diferentes caminhos, obtemos limites diferentes:
  • Pelo eixo $ x $ ou $ y $, o limite é 0.
  • Pelo caminho $ y = \sqrt{x} $, o limite é x .
Como os limites dependem do caminho escolhido, isso significa que o limite da função $ f(x, y) $ quando y não existe.

Resposta

O limite da função $ f(x, y) $ quando f(x, y) não existe, pois diferentes caminhos levam a valores de limite distintos.

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