Calcule, se existir, o limite da função quando (x, y) (0,0). Caso o limite não exista, justifique sua resposta.
x^2-y^2x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de limites em funções de duas variáveis. A gente quer descobrir se o limite da função $ f(x, y) $ existe quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $. Para isso, vamos precisar entender como funcionam os limites em duas dimensões e testar o comportamento da função por caminhos diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que a função faz quando nos aproximamos de $ (0,0) $ por diferentes caminhos. Um caminho simples é seguir o eixo $ x $, ou seja, fixar $ y = 0 $ e deixar $ x $ se aproximar de 0. Substituindo $ y = 0 $ na função:
(0,0)
Então, quando nos aproximamos de $ (0,0) $ pelo eixo $ x $, o limite da função é 1.

Passo 3

Agora, vamos tentar outro caminho, por exemplo, seguir o eixo $ y $, ou seja, fixar $ x = 0 $ e deixar $ y $ se aproximar de 0. Substituindo $ x = 0 $ na função:
y
Dessa vez, ao nos aproximarmos de $ (0,0) $ pelo eixo $ y $, o limite da função é -1.

Passo 4

A gente observou que dependendo do caminho que escolhemos para se aproximar de $ (0,0) $, o limite da função $ f(x, y) $ assume valores diferentes: 1 pelo eixo $ x $ e -1 pelo eixo $ y $. Isso indica que o limite depende da direção de aproximação.

Resposta

Como os limites são diferentes quando nos aproximamos de $ (0,0) $ por caminhos distintos, concluímos que o limite da função $ f(x, y) $ quando $ (x, y) \rightarrow (0,0) $ não existe.

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