Calcule, se existir, o limite da função quando
. Caso o limite não exista, justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite da função $ f(x, y) = \frac{x^{2} y}{x{2}+y{2}} $ quando
se aproxima de
. Isso tá entrando no campo de cálculo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, precisamos analisar como a função se comporta à medida que nos aproximamos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite passando pelo eixo
, ou seja, quando
. Substituindo
na função, temos:
Então, pelo eixo
, o limite parece ser 0.
Passo 3
Agora, vamos tentar pelo eixo
, onde
. Substituindo
na função, temos:
Pelo eixo
, o limite também é 0.
Passo 4
Até aqui, tudo indica que o limite pode ser 0. Mas, para termos certeza, precisamos verificar se o limite é o mesmo por qualquer caminho que leve ao ponto
. Um jeito comum de fazer isso é considerar caminhos não alinhados com os eixos, como linhas retas ou curvas.
Passo 5
Vamos testar por uma linha reta
, onde
é uma constante. Substituindo
na função:
Agora, ao levar
para 0:
Então, por qualquer linha reta que passa por
, o limite é 0.
Passo 6
Vamos tentar agora por um caminho diferente, como uma parábola. Por exemplo,
. Substituindo na função:
Ao levar
para 0:
Então, mesmo por esse caminho, o limite é 0.
Passo 7
Apesar de termos obtido o limite 0 por diferentes caminhos, para garantir que o limite realmente existe e é 0, podemos usar polar coordenadas. Assim, expressamos
em termos de
e
, onde
e
. Isso ajuda a analisar o comportamento da função à medida que
, independente do ângulo
.
Substituindo na função:
Agora, ao levar
:
Isso mostra que independente do ângulo
, o limite é 0.
Resposta
O limite da função $ f(x, y) = \frac{x^{2} y}{x{2}+y{2}} $ quando
se aproxima de
é igual a 0.