Calcule, se existir, o limite da função quando (x, y) (0,0). Caso o limite não exista, justifique sua resposta.
f(x, y)=x^2 yx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite da função $ f(x, y) = \frac{x^{2} y}{x{2}+y{2}} $ quando f(x, y) = x^2 yx^2+y^2 se aproxima de (x, y). Isso tá entrando no campo de cálculo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, precisamos analisar como a função se comporta à medida que nos aproximamos do ponto (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite passando pelo eixo x, ou seja, quando y = 0. Substituindo y = 0 na função, temos:
f(x, 0) = x^2 cdot 0x^2 + 0^2 = 0
Então, pelo eixo x, o limite parece ser 0.

Passo 3

Agora, vamos tentar pelo eixo y, onde x = 0. Substituindo x = 0 na função, temos:
f(0, y) = 0^2 cdot y0^2 + y^2 = 0
Pelo eixo y, o limite também é 0.

Passo 4

Até aqui, tudo indica que o limite pode ser 0. Mas, para termos certeza, precisamos verificar se o limite é o mesmo por qualquer caminho que leve ao ponto (0,0). Um jeito comum de fazer isso é considerar caminhos não alinhados com os eixos, como linhas retas ou curvas.

Passo 5

Vamos testar por uma linha reta y = kx, onde k é uma constante. Substituindo y = kx na função:
f(x, kx) = x^2 cdot kxx^2 + (kx)^2 = kx^3x^2 + k^2x^2 = kx^3x^2(1 + k^2) = kx1 + k^2
Agora, ao levar x para 0:
limx to 0 kx1 + k^2 = 0
Então, por qualquer linha reta que passa por (0,0), o limite é 0.

Passo 6

Vamos tentar agora por um caminho diferente, como uma parábola. Por exemplo, y = x^2. Substituindo na função:
f(x, x^2) = x^2 cdot x^2x^2 + (x^2)^2 = x^4x^2 + x^4 = x^4x^2(1 + x^2) = x^21 + x^2
Ao levar x para 0:
limx to 0 x^21 + x^2 = 0
Então, mesmo por esse caminho, o limite é 0.

Passo 7

Apesar de termos obtido o limite 0 por diferentes caminhos, para garantir que o limite realmente existe e é 0, podemos usar polar coordenadas. Assim, expressamos (x, y) em termos de r e theta, onde x = rcostheta e y = rsintheta. Isso ajuda a analisar o comportamento da função à medida que r to 0, independente do ângulo theta.
Substituindo na função:
f(rcostheta, rsintheta) = (rcostheta)^2 cdot rsintheta(rcostheta)^2 + (rsintheta)^2 = r^2cos^2theta cdot rsinthetar^2(cos^2theta + sin^2theta) = r^3cos^2theta sinthetar^2 = rcos^2theta sintheta
Agora, ao levar r to 0:
limr to 0 rcos^2theta sintheta = 0
Isso mostra que independente do ângulo theta, o limite é 0.

Resposta

O limite da função $ f(x, y) = \frac{x^{2} y}{x{2}+y{2}} $ quando f(x, y) = x^2 yx^2+y^2 se aproxima de (x, y) é igual a 0.

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