Calcule, se existir, \nabla f(1,0) para a funções:
f(x, y)=e^{\sqrt{x y}}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede para calcular \nabla f(1,0), ou seja, o vetor gradiente de f no ponto (1,0).
  • A função dada é f(x,y)=e^{\sqrt{x y}}.
  • Observação importante sobre domínio: a raiz quadrada exige x y \ge 0. Portanto a função só está definida onde x y \ge 0. Em particular, na reta x=1 a função está definida apenas para y\ge 0.

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos calcular na prática (definição):
  • O gradiente de f é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
  • A derivada parcial em relação a x em um ponto (a,b) é, por definição,
\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h},
desde que o quociente esteja definido para h próximos de 0 (isto é, para valores de h tais que (a+h,b) esteja no domínio de f).
  • De forma análoga,
\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a,b+h)-f(a,b)}{h},
quando o limite existe (novamente respeitando o domínio).
  • Observação sobre regras de diferenciação: a regra da cadeia e a derivada \dfrac{d}{du}\sqrt{u}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}} valem quando u>0. Em pontos onde u=0 essa fórmula direta causa divisão por zero, então é mais seguro usar a definição por limites nesses pontos ou verificar cuidadosamente a existência do limite.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}(1,0) usando a definição (método mais direto e seguro neste ponto):
  • Para qualquer h tal que (1+h,0) esteja no domínio temos (1+h)\cdot 0 = 0, então
f(1+h,0)=e^{\sqrt{(1+h)\cdot 0}}=e^{0}=1.
  • Também f(1,0)=e^{\sqrt{1\cdot 0}}=1.
  • Assim o quociente da definição é
\frac{f(1+h,0)-f(1,0)}{h}=\frac{1-1}{h}=0
para todo h\neq 0 (admissível). Tomando o limite,
\frac{\partial f}{\partial x}(1,0)=\lim_{h\to 0}\,0=0.
  • Interpretação simples: movimentando na direção x mantendo y=0 a função é constante igual a 1, portanto a variação é nula.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}(1,0). Atenção ao domínio e ao comportamento da raiz:
  • Fixando x=1 obtemos, para y\ge 0,
f(1,y)=e^{\sqrt{y}}.
  • A derivada parcial em y em (1,0) é o limite (quando existir)
\frac{\partial f}{\partial y}(1,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(1,h)-f(1,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{e^{\sqrt{h}}-1}{h},
lembrando que só faz sentido avaliar f(1,h) quando h\ge 0. Portanto a única abordagem possível é pela direita ( h\to 0^+); para h<0 a expressão f(1,h) não é real.
  • Fazer a substituição h=t^2 com t\to 0^+. Então
\frac{e^{\sqrt{h}}-1}{h}=\frac{e^{t}-1}{t^2}=\frac{e^{t}-1}{t}\cdot\frac{1}{t}.
  • Quando t\to 0^+ tem-se \dfrac{e^{t}-1}{t}\to 1, portanto
\frac{e^{t}-1}{t^2}\sim \frac{1}{t}\qquad (t\to 0^+),
ou seja o quociente diverge para +\infty quando t\to 0^+.
  • Conclusão: o limite lateral pela direita é +\infty. Não há limite pela esquerda porque f(1,h) não está definido para h<0. Assim não existe um valor finito de \dfrac{\partial f}{\partial y}(1,0). Dizemos que a derivada parcial em y em (1,0) não existe (ou diverge para +\infty).

Passo 5

Conclusão sobre o gradiente:
  • A componente em x existe e vale 0.
  • A componente em y não existe (diverge), portanto o gradiente \nabla f(1,0) não existe como vetor com componentes reais finitas.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(1,0)=0
\dfrac{\partial f}{\partial y}(1,0) não existe; portanto \nabla f(1,0) não existe.

Exercícios relacionados