Calcule, se existir,
para a funções:
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede para calcular
, ou seja, o vetor gradiente de no ponto . - A função dada é
. - Observação importante sobre domínio: a raiz quadrada exige
. Portanto a função só está definida onde . Em particular, na reta a função está definida apenas para .
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos calcular na prática (definição):
- O gradiente de
é o vetor das derivadas parciais:
- A derivada parcial em relação a
em um ponto é, por definição,
desde que o quociente esteja definido para
próximos de
(isto é, para valores de
tais que
esteja no domínio de
).
- De forma análoga,
quando o limite existe (novamente respeitando o domínio).
- Observação sobre regras de diferenciação: a regra da cadeia e a derivada
valem quando . Em pontos onde essa fórmula direta causa divisão por zero, então é mais seguro usar a definição por limites nesses pontos ou verificar cuidadosamente a existência do limite.
Passo 3
Cálculo de
usando a definição (método mais direto e seguro neste ponto):
- Para qualquer
tal que esteja no domínio temos , então
- Também
. - Assim o quociente da definição é
para todo
(admissível). Tomando o limite,
- Interpretação simples: movimentando na direção
mantendo a função é constante igual a , portanto a variação é nula.
Passo 4
Cálculo de
. Atenção ao domínio e ao comportamento da raiz:
- Fixando
obtemos, para ,
- A derivada parcial em
em é o limite (quando existir)
lembrando que só faz sentido avaliar
quando
. Portanto a única abordagem possível é pela direita (
); para
a expressão
não é real.
- Fazer a substituição
com . Então
- Quando
tem-se , portanto
ou seja o quociente diverge para
quando
.
- Conclusão: o limite lateral pela direita é
. Não há limite pela esquerda porque não está definido para . Assim não existe um valor finito de . Dizemos que a derivada parcial em em não existe (ou diverge para ).
Passo 5
Conclusão sobre o gradiente:
- A componente em
existe e vale . - A componente em
não existe (diverge), portanto o gradiente não existe como vetor com componentes reais finitas.