A temperatura de uma chapa plana é dada por
(
e
).
Determine, a partir do ponto
, a direção em que a temperatura cresce mais rapidamente, e qual a taxa de crescimento;
Determine, a partir do ponto
Passo 1
O problema dá a temperatura de uma chapa por
e pede a direção em que
cresce mais rápido a partir de
, além da taxa de crescimento nessa direção. Vamos usar derivadas parciais e o conceito de gradiente.
Passo 2
Para encontrar a direção de máximo crescimento de uma função escalar de duas variáveis, lembramos que ela é dada pelo vetor gradiente. O gradiente de
é definido como
.
Calculando as derivadas parciais de :
e
.
Calculando as derivadas parciais de
Passo 3
Formamos o gradiente geral:
. Avaliando em
obtemos
.
Passo 4
A direção de crescimento mais rápido é a direção de
. O vetor unitário nessa direção é dado por
. Primeiro calculamos a norma:
Assim,
.
Passo 5
A taxa máxima de crescimento de
no ponto é exatamente o valor da norma do gradiente nesse ponto, ou seja
.
Resposta
A direção de maior crescimento é dada pelo vetor unitário
e a taxa de crescimento máxima nesse ponto é
.