A temperatura de uma chapa plana é dada por T(x, y)=x^2+y^2 ( T em ^0 C, x e y em cm ).
Determine, a partir do ponto (1,2), a direção em que a temperatura cresce mais rapidamente, e qual a taxa de crescimento;

Passo 1

O problema dá a temperatura de uma chapa por T(x,y)=x^2+y^2 e pede a direção em que T cresce mais rápido a partir de (1,2), além da taxa de crescimento nessa direção. Vamos usar derivadas parciais e o conceito de gradiente.

Passo 2

Para encontrar a direção de máximo crescimento de uma função escalar de duas variáveis, lembramos que ela é dada pelo vetor gradiente. O gradiente de T(x,y) é definido como nabla T = l(partial Tpartial x,,partial Tpartial yr).
Calculando as derivadas parciais de T(x,y)=x^2+y^2: partial Tpartial x=2x e partial Tpartial y=2y.

Passo 3

Formamos o gradiente geral: nabla T(x,y)=(2x,2y). Avaliando em (1,2) obtemos nabla T(1,2)=(2cdot1,2cdot2)=(2,4).

Passo 4

A direção de crescimento mais rápido é a direção de nabla T(1,2). O vetor unitário nessa direção é dado por u=nabla T(1,2)lVertnabla T(1,2)rVert. Primeiro calculamos a norma: lVert(2,4)rVert=raiz2^2+4^2=raiz20=2raiz5 Assim, u=(2,4)/(2raiz5)=(1/raiz5,2/raiz5).

Passo 5

A taxa máxima de crescimento de T no ponto é exatamente o valor da norma do gradiente nesse ponto, ou seja lVertnabla T(1,2)rVert=2raiz5.

Resposta

A direção de maior crescimento é dada pelo vetor unitário l(1/raiz5,,2/raiz5r) e a taxa de crescimento máxima nesse ponto é 2raiz5.

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