Determine a taxa de variação de:
f(x, y)=x^{2} y^{3}-4 y no ponto (2,-1) na direção do vetor \vec{v}=(2,5);

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação de f(x,y)=x^{2}y^{3}-4y no ponto (2,-1) na direção do vetor \vec{v}=(2,5).
Informações dadas:
  • A função: f(x,y)=x^{2}y^{3}-4y.
  • O ponto onde se calcula a taxa de variação: (2,-1).
  • O vetor de direção: \vec{v}=(2,5).
O que é pedido: calcular a taxa de variação de f em (2,-1) na direção de \vec{v} (ou seja, o derivada direcional de f nesse ponto na direção de \vec{v}).

Passo 2

Explicação do conceito e fórmula que vamos usar.
A taxa de variação de f no ponto P=(x_0,y_0) na direção de um vetor \vec{v} é a derivada direcional de f nessa direção. Primeiro precisamos usar o vetor unitário \mathbf{u} na direção de \vec{v}, porque a derivada direcional é definida em termos de uma direção com comprimento 1.
  • O vetor unitário \mathbf{u} é dado por
\mathbf{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|},
onde \|\vec{v}\| é a norma (comprimento) de \vec{v}.
  • A derivada direcional de f em P na direção \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u},
onde \nabla f(P) é o gradiente de f em P e `` \cdot’’ é o produto escalar.
O gradiente \nabla f(x,y) é o vetor das derivadas parciais:
\displaystyle \nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Aqui cada componente significa a taxa de variação de f quando apenas uma variável varia (mantendo a outra fixa).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f.
A função é f(x,y)=x^{2}y^{3}-4y.
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial x}: trate y como constante e derive em relação a x.
\frac{\partial f}{\partial x}=2x\,y^{3}.
Explicação: derivada de x^{2} é 2x, e y^{3} é constante multiplicativa.
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial y}: trate x como constante e derive em relação a y.
\frac{\partial f}{\partial y}=3x^{2}\,y^{2}-4.
Explicação: derivada de y^{3} é 3y^{2}, multiplicada por x^{2}; derivada de -4y é -4.
Portanto
\nabla f(x,y)=\big(2x\,y^{3},\;3x^{2}\,y^{2}-4\big).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto P=(2,-1).
Calcule cada componente em x=2, y=-1.
  • Primeiro componente:
2x\,y^{3}=2\cdot 2\cdot(-1)^{3}=4\cdot(-1)=-4.
  • Segundo componente:
3x^{2}\,y^{2}-4=3\cdot(2)^{2}\cdot(-1)^{2}-4=3\cdot 4\cdot 1-4=12-4=8.
Logo
\nabla f(2,-1)=(-4,\;8).

Passo 5

Calcular o vetor unitário na direção de \vec{v}=(2,5).
Norma de \vec{v}:
\|\vec{v}\|=\sqrt{2^{2}+5^{2}}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}.
Vetor unitário
\mathbf{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\left(\frac{2}{\sqrt{29}},\;\frac{5}{\sqrt{29}}\right).

Passo 6

Calcular a derivada direcional como produto escalar \nabla f(2,-1)\cdot\mathbf{u}.
D_{\mathbf{u}}f(2,-1)=(-4,8)\cdot\left(\frac{2}{\sqrt{29}},\frac{5}{\sqrt{29}}\right) =\frac{1}{\sqrt{29}}\big((-4)\cdot 2 + 8\cdot 5\big).
Calcule dentro dos parênteses:
(-4)\cdot 2 + 8\cdot 5 = -8 + 40 = 32.
Portanto
D_{\mathbf{u}}f(2,-1)=\frac{32}{\sqrt{29}}.
Interpretação curta: o valor é positivo, então f aumenta na direção de \vec{v} em P; a taxa de crescimento é \dfrac{32}{\sqrt{29}} por unidade de deslocamento nessa direção.

Resposta

\dfrac{32}{\sqrt{29}}

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