Determine a taxa de variação de:
no ponto
na direção do vetor
;
Passo 1
O enunciado pede a taxa de variação de
no ponto
na direção do vetor
.
Informações dadas:
- A função:
. - O ponto onde se calcula a taxa de variação:
. - O vetor de direção:
.
O que é pedido: calcular a taxa de variação de
em
na direção de
(ou seja, o derivada direcional de
nesse ponto na direção de
).
Passo 2
Explicação do conceito e fórmula que vamos usar.
A taxa de variação de
no ponto
na direção de um vetor
é a derivada direcional de
nessa direção. Primeiro precisamos usar o vetor unitário
na direção de
, porque a derivada direcional é definida em termos de uma direção com comprimento
.
- O vetor unitário
é dado por
onde
é a norma (comprimento) de
.
- A derivada direcional de
em na direção é
onde
é o gradiente de
em
e ``
’’ é o produto escalar.
O gradiente
é o vetor das derivadas parciais:
Aqui cada componente significa a taxa de variação de
quando apenas uma variável varia (mantendo a outra fixa).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
A função é
.
- Para
: trate como constante e derive em relação a .
Explicação: derivada de
é
, e
é constante multiplicativa.
- Para
: trate como constante e derive em relação a .
Explicação: derivada de
é
, multiplicada por
; derivada de
é
.
Portanto
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
.
Calcule cada componente em
,
.
- Primeiro componente:
- Segundo componente:
Logo
Passo 5
Calcular o vetor unitário na direção de
.
Norma de
:
Vetor unitário
Passo 6
Calcular a derivada direcional como produto escalar
.
Calcule dentro dos parênteses:
Portanto
Interpretação curta: o valor é positivo, então
aumenta na direção de
em
; a taxa de crescimento é
por unidade de deslocamento nessa direção.