Calcule, se existir, o valor das seguintes integrais impróprias:
\int_{-\infty}^{\frac{\pi}{2}} \cos (2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular, se existir, a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x)\,dx.
Trata-se de uma integral de tipo “infinito” no limite inferior, então vamos primeiro encontrar a antiderivada de \cos(2x) e depois estudar o limite.

Passo 2

A antiderivada de \cos(2x) é
\int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C.

Passo 3

Definimos a integral imprópria como limite
\int_{-\infty}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x)\,dx = \lim_{M\to\infty}\int_{-M}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x)\,dx.
Usando a antiderivada,
\int_{-M}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x)\,dx = \left[\frac{1}{2}\sin(2x)\right]_{x=-M}^{x=\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}\sin(\pi)\;-\;\frac{1}{2}\sin(-2M).

Passo 4

Como \sin(\pi)=0 e \sin(-2M)=-\sin(2M), obtemos
\int_{-M}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2M).
Para M\to\infty, o termo \sin(2M) oscila entre -1 e 1 sem limite. Portanto
\lim_{M\to\infty}\frac{1}{2}\sin(2M)
não existe.

Resposta

A integral imprópria diverge (não converge).

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