Calcule, se existir, o valor das seguintes integrais impróprias:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
O conteúdo envolvido é integral imprópria em extremos infinitos, convergência de integrais e propriedades de paridade de funções (pares e ímpares).
Passo 2
Observamos a paridade de cada parte da integranda. A função
é ímpar, pois
enquanto
é par. Logo, o quociente
é uma função ímpar, pois
Para qualquer
, a integral de uma função ímpar num intervalo simétrico satisfaz
Passo 3
É preciso garantir que a integral impropria converge quando
. Para
grande, temos
de modo que
Como
converge, segue que
são convergentes. Portanto, a integral imprópria sobre
existe.
Passo 4
Como para todo
vale
e o limite
existe, concluímos
Resposta
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