Calcule, se existir, o valor das seguintes integrais impróprias:
\int_{-4}^{2} \frac{1}{x^{2}+2 x-8} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-4}^{2}\frac{1}{x^{2}+2x-8}\,dx
Note que o denominador se anula em x=-4 e x=2, que são exatamente os limites de integração, então teremos que analisar limites laterais nessas singularidades.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador e fazer frações parciais.
x^{2}+2x-8=(x+4)(x-2)
Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{(x+4)(x-2)}=\frac{A}{x+4}+\frac{B}{x-2}.
Multiplicando em ambos os lados por (x+4)(x-2) vem
1=A(x-2)+B(x+4).
Tomando x=2 1=6B, logo B=\tfrac{1}{6}.
Tomando x=-4 1=-6A, logo A=-\tfrac{1}{6}.

Passo 3

Escrevendo a integral em frações parciais e integrando:
\int\frac{1}{x^{2}+2x-8}\,dx =\int\Bigl(-\tfrac{1}{6}\,\frac{1}{x+4}+\tfrac{1}{6}\,\frac{1}{x-2}\Bigr)dx =\frac{1}{6}\Bigl(\ln\lvert x-2\rvert-\ln\lvert x+4\rvert\Bigr)+C.

Passo 4

Como a integral é imprópria em ambos os extremos, escrevemos
\int_{-4}^{2}\frac{1}{x^{2}+2x-8}\,dx =\lim_{\alpha\to-4^{+}}\lim_{\beta\to2^{-}} \int_{\alpha}^{\beta}\frac{1}{x^{2}+2x-8}\,dx.
Pela antiderivada, isso vale
\lim_{\alpha\to-4^{+}}\lim_{\beta\to2^{-}} \frac{1}{6}\Bigl[\ln\lvert x-2\rvert-\ln\lvert x+4\rvert\Bigr]_{\alpha}^{\beta}.

Passo 5

Analisando cada limite:
  • Ao aproximar \beta\to2^{-}, \ln\lvert\beta-2\rvert\to-\infty.
  • Ao aproximar \alpha\to-4^{+}, \ln\lvert\alpha+4\rvert\to-\infty.
    Logo a diferença
\bigl(\ln\lvert\beta-2\rvert-\ln\lvert\beta+4\rvert\bigr) -\bigl(\ln\lvert\alpha-2\rvert-\ln\lvert\alpha+4\rvert\bigr)
envolve -\infty menos +\infty, divergindo para -\infty. Portanto não há valor finito.

Resposta

A integral diverge (não existe valor finito).

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