Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3-x^{3}}{2-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x \to +\infty} \frac{3 - x^{3}}{2 - x^{2}}.
O conteúdo é limite de função racional no infinito; vamos usar comparação de graus de polinômios e fatoração.

Passo 2

Observe os graus dos polinômios: o numerador 3 - x^{3} tem grau 3 e o denominador 2 - x^{2} tem grau 2. Quando o grau do numerador é maior que o do denominador, o valor absoluto da fração tende a infinito. Resta determinar o sinal desse infinito.

Passo 3

Fatoramos a potência mais alta em cada polinômio:
3 - x^{3} = x^{3}\bigl(-1 + \tfrac{3}{x^{3}}\bigr), \qquad 2 - x^{2} = x^{2}\bigl(-1 + \tfrac{2}{x^{2}}\bigr).
Então
\frac{3 - x^{3}}{2 - x^{2}} = \frac{x^{3}\bigl(-1 + \tfrac{3}{x^{3}}\bigr)}{x^{2}\bigl(-1 + \tfrac{2}{x^{2}}\bigr)} = x \,\frac{-1 + \tfrac{3}{x^{3}}}{-1 + \tfrac{2}{x^{2}}}.
À medida que x \to +\infty, os termos \tfrac{3}{x^{3}} e \tfrac{2}{x^{2}} vão a zero, de modo que
\frac{-1 + \tfrac{3}{x^{3}}}{-1 + \tfrac{2}{x^{2}}} \;\longrightarrow\; \frac{-1 + 0}{-1 + 0} = 1.
Logo o quociente se comporta como x para x grande.

Resposta

+\infty

Exercícios relacionados