Um sistema de comunicação distribui a potência óptica total de 10 unidades entre trés
5. Questão 5 ( 2,0 pontos)
canais
e
. A eficiência é dada por:
com a restrição
. Determine a melhor distribuição da potência entre os canais para maximizar a eficiência. Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 1
O enunciado pede para maximizar
sob a restrição
usando o método dos multiplicadores de Lagrange. O conteúdo é otimização com restrição e precisamos montar a Lagrangiana e resolver as condições de extremum.
Passo 2
Definimos a Lagrangiana
As condições de primeira ordem são
Passo 3
Das derivadas parciais temos
Passo 4
Usando a restrição
substituímos:
Então
Passo 5
A função
é estritamente côncava em
(pois soma de logaritmos com coeficientes positivos), logo o ponto crítico encontrado é máximo global.
Resposta
A melhor distribuição da potência é