Um sistema de comunicação distribui a potência óptica total de 10 unidades entre trés

5. Questão 5 ( 2,0 pontos)

canais x, y e z. A eficiência é dada por:
f(x, y, z)=\ln (x)+\ln (y)+4 \ln (z)
com a restrição x+y+z=10. Determine a melhor distribuição da potência entre os canais para maximizar a eficiência. Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 1

O enunciado pede para maximizar
f(x,y,z)=\ln(x)+\ln(y)+4\ln(z)
sob a restrição
x+y+z=10,
usando o método dos multiplicadores de Lagrange. O conteúdo é otimização com restrição e precisamos montar a Lagrangiana e resolver as condições de extremum.

Passo 2

Definimos a Lagrangiana
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=\ln(x)+\ln(y)+4\ln(z)\;-\;\lambda\,(x+y+z-10).
As condições de primeira ordem são
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial z}=0,\quad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}=0.

Passo 3

Das derivadas parciais temos
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=\frac{1}{x}-\lambda=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{1}{\lambda},
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=\frac{1}{y}-\lambda=0 \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{1}{\lambda},
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial z}=\frac{4}{z}-\lambda=0 \quad\Longrightarrow\quad z=\frac{4}{\lambda}.

Passo 4

Usando a restrição x+y+z=10 substituímos:
\frac{1}{\lambda}+\frac{1}{\lambda}+\frac{4}{\lambda}=10 \quad\Longrightarrow\quad \frac{6}{\lambda}=10 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{3}{5}.
Então
x=y=\frac{1}{\lambda}=\frac{5}{3}, \qquad z=\frac{4}{\lambda}=\frac{20}{3}.

Passo 5

A função f é estritamente côncava em \{x,y,z>0\} (pois soma de logaritmos com coeficientes positivos), logo o ponto crítico encontrado é máximo global.

Resposta

A melhor distribuição da potência é
x=y=\frac{5}{3}, \quad z=\frac{20}{3}.

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