Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2}-3 x+2}{4 x^{4}-2 x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to +\infty} \frac{x^{2}-3x+2}{4x^{4}-2x^{2}+1}.
Como é uma função racional, com grau do numerador igual a 2 e grau do denominador igual a 4, vamos comparar esses graus. Para formalizar, dividimos numerador e denominador por x^{4}, a maior potência presente.

Passo 2

Dividindo tudo por x^{4}, obtemos
\frac{x^{2}-3x+2}{4x^{4}-2x^{2}+1} = \frac{\frac{x^{2}}{x^{4}}-\frac{3x}{x^{4}}+\frac{2}{x^{4}}}{\frac{4x^{4}}{x^{4}}-\frac{2x^{2}}{x^{4}}+\frac{1}{x^{4}}} = \frac{\frac{1}{x^{2}}-\frac{3}{x^{3}}+\frac{2}{x^{4}}}{4-\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}}}.

Passo 3

Quando x\to +\infty, todos os termos do tipo \tfrac{1}{x^{k}} tendem a zero. Logo, o numerador tende a
0 - 0 + 0 = 0
e o denominador tende a
4 - 0 + 0 = 4.
Portanto,
\lim_{x\to +\infty} \frac{x^{2}-3x+2}{4x^{4}-2x^{2}+1} = \frac{0}{4} = 0.

Resposta

0

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