Calcule, se existirem, os limites abaixo.
§ lim (x, y, z) (0,0,0) y zx^2+5 y^2+9 z^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de várias variáveis, especificamente em três dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender como os valores de , e se comportam quando se aproximam de zero e como isso afeta a função como um todo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. O numerador é e o denominador é .

Passo 3

Para facilitar, vamos usar o módulo da função, que nos ajuda a analisar o comportamento geral sem nos preocupar com os sinais. Isso significa que vamos considerar .

Passo 4

Vamos encontrar um limite superior para |y z| <= y^2 + z^22 . Sabemos que, para quaisquer números reais e , a desigualdade é válida. Aplicando isso ao nosso caso:

Passo 5

Agora, substituímos essa desigualdade na nossa expressão original:
| y zx^2+5 y^2+9 z^2 | <= y^2 + z^22x^2+5 y^2+9 z^2 = y^2 + z^22(x^2+5 y^2+9 z^2)

Passo 6

Observamos que o denominador é sempre positivo exceto no ponto , onde ele se anula. Como estamos nos aproximando de , queremos ver se a fração inteira tende a zero.

Passo 7

Note que tanto x^2 + 5 y^2 + 9 z^2 >= x^2 + y^2 + z^2 quanto y^2 + z^22(x^2+5 y^2+9 z^2) <= y^2 + z^22(x^2 + y^2 + z^2) <= y^2 + z^22(y^2 + z^2) = 12 são não-negativos. Portanto, podemos dizer que:
Isso nos permite escrever:

Passo 8

Entretanto, à medida que se aproxima de , também tende a zero. Portanto, a fração inteira tende a zero.

Resposta

0

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