Calcule, se existirem, os seguintes limites:
f)
f)
Passo 1
Vamos calcular o limite quando
se aproxima de 2 para a função:
Aqui, estamos trabalhando com o conceito de limites, que nos ajuda a entender o comportamento de uma função perto de um ponto específico. Para resolver esse limite, vamos precisar manipular algaritmos que envolvem raízes quadradas e utilizar técnicas de racionalização para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na função para ver se conseguimos encontrar o limite:
Obtivemos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Para resolver a forma indeterminada, vamos racionalizar o numerador e o denominador. Racionalizar significa eliminar as raízes quadradas do denominador ou numerador multiplicando pela expressão conjugada.
Primeiro, racionalizamos o numerador multiplicando e dividindo por
:
Simplificando o numerador:
Passo 4
Agora, vamos racionalizar o denominador. Multiplicamos e dividimos pela expressão conjugada
:
Simplificando o denominador:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, observamos que o termo
pode ser fatorado:
Substituindo na expressão:
Podemos cancelar o termo
no numerador e denominador:
Passo 6
Agora que simplificamos a expressão, podemos substituir
:
Para simplificar ainda mais, racionalizamos o denominador:
Resposta
O limite é
.