Calcule, se existirem, os seguintes limites, justificando todas as passagens: \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x \ln \left(x^{2}+4 y^{2}\right)
Passo 1
O enunciado nos pede avaliar o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=x\ln\bigl(x^{2}+4y^{2}\bigr)
quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo principal é limite em várias variáveis e usamos desigualdades e a substituição r^{2}=x^{2}+4y^{2} para mostrar que o produto tende a zero.
Passo 2
Definimos
r=\sqrt{x^{2}+4y^{2}}\!,
de modo que r\ge0 e (x,y)\to(0,0) implica r\to0^{+}. Note também que |x|\le\sqrt{x^{2}+4y^{2}}=r.
Passo 3
Escrevemos o valor absoluto de f e usamos x^{2}+4y^{2}=r^{2}: