Calcule, se existirem, os seguintes limites, justificando todas as passagens:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x \ln \left(x^{2}+4 y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado nos pede avaliar o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=x\ln\bigl(x^{2}+4y^{2}\bigr)
quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo principal é limite em várias variáveis e usamos desigualdades e a substituição r^{2}=x^{2}+4y^{2} para mostrar que o produto tende a zero.

Passo 2

Definimos
r=\sqrt{x^{2}+4y^{2}}\!,
de modo que r\ge0 e (x,y)\to(0,0) implica r\to0^{+}. Note também que |x|\le\sqrt{x^{2}+4y^{2}}=r.

Passo 3

Escrevemos o valor absoluto de f e usamos x^{2}+4y^{2}=r^{2}:
\bigl|x\ln(x^{2}+4y^{2})\bigr| =\bigl|x\ln(r^{2})\bigr| =|x|\;\bigl|2\ln r\bigr| =2\,|x|\,|\ln r|.

Passo 4

Como |x|\le r, segue
\bigl|x\ln(x^{2}+4y^{2})\bigr|\le 2\,r\,|\ln r|.
Mas é conhecido que
\lim_{r\to0^{+}}r\,|\ln r|=0,
pois o termo r vai a zero muito mais rápido que |\ln r| vai a infinito.

Passo 5

Pelo Teorema do Confronto (Squeeze Theorem), tendo
0\le\bigl|x\ln(x^{2}+4y^{2})\bigr|\le 2\,r\,|\ln r|\quad\text{e}\quad\lim_{r\to0^{+}}2\,r\,|\ln r|=0,
concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}x\ln\bigl(x^{2}+4y^{2}\bigr)=0.

Resposta

0

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