Sejam
um intervalo aberto e
curvas deriváveis.
a) Considere
e
dadas por
e
. Mostre que
para todo
.
b) Use o item anterior e a Regra da Cadeia para obter expressões para as derivadas do produto misto
e da norma
.
a) Considere
b) Use o item anterior e a Regra da Cadeia para obter expressões para as derivadas do produto misto
Passo 1
O enunciado define curvas diferenciáveis
e pede:
– em (a) derivar a aplicação escalar
– em (a) derivar a aplicação escalar
e o vetor
usando a regra do produto;
– em (b) usar esses resultados e a regra da cadeia para derivar o produto misto
– em (b) usar esses resultados e a regra da cadeia para derivar o produto misto
e a norma
Passo 2
Para
escrevemos em coordenadas
logo
Passo 3
Para
usamos a definição componente a componente, por exemplo
cuja derivada é
e isso equivale exatamente à componente 1 de
Analogamente nas outras componentes, ficando
Passo 4
Para o produto misto
aplicamos a regra da derivada do produto interno e a do produto vetorial já obtida:
Mas
portanto
Passo 5
Para a norma
usamos a regra da cadeia:
Resposta
a)
b)