Sejam I um intervalo aberto e \alpha, \beta, \gamma: I \rightarrow \mathbb{R}^{3} curvas deriváveis.
a) Considere f: I \rightarrow \mathbb{R} e \Gamma: I \rightarrow \mathbb{R}^{3} dadas por f(t)=\langle\alpha(t), \beta(t)\rangle e \Gamma(t)=\alpha(t) \times \beta(t). Mostre que f^{\prime}(t)=\left\langle\alpha^{\prime}(t), \beta(t)\right\rangle+\left\langle\alpha(t), \beta^{\prime}(t)\right\rangle \mathrm{e} \Gamma^{\prime}(t)=\alpha^{\prime}(t) \times \beta(t)+\alpha(t) \times \beta^{\prime}(t) para todo t \in I.
b) Use o item anterior e a Regra da Cadeia para obter expressões para as derivadas do produto misto [\alpha(t), \beta(t), \gamma(t)]=\langle\alpha(t), \beta(t) \times \gamma(t)\rangle e da norma \|\alpha(t)\|=\sqrt{\langle\alpha(t), \alpha(t)\rangle}.

Passo 1

O enunciado define curvas diferenciáveis \alpha,\beta,\gamma: I\to\mathbb{R}^3 e pede:
– em (a) derivar a aplicação escalar
f(t)=\langle\alpha(t),\beta(t)\rangle
e o vetor
\Gamma(t)=\alpha(t)\times\beta(t),
usando a regra do produto;
– em (b) usar esses resultados e a regra da cadeia para derivar o produto misto
[\alpha(t),\beta(t),\gamma(t)] \;=\;\langle\alpha(t),\,\beta(t)\times\gamma(t)\rangle
e a norma
\|\alpha(t)\|=\sqrt{\langle\alpha(t),\alpha(t)\rangle}.

Passo 2

Para f(t)=\langle\alpha(t),\beta(t)\rangle escrevemos em coordenadas
f(t)=\sum_{i=1}^3\alpha_i(t)\,\beta_i(t),
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f'(t)=\sum_{i=1}^3\bigl(\alpha_i'(t)\,\beta_i(t)+\alpha_i(t)\,\beta_i'(t)\bigr) =\langle\alpha'(t),\beta(t)\rangle+\langle\alpha(t),\beta'(t)\rangle.

Passo 3

Para \Gamma(t)=\alpha(t)\times\beta(t) usamos a definição componente a componente, por exemplo
\Gamma_1(t)=\alpha_2(t)\,\beta_3(t)-\alpha_3(t)\,\beta_2(t),
cuja derivada é
\Gamma_1'(t)=\alpha_2'(t)\,\beta_3(t)+\alpha_2(t)\,\beta_3'(t) -\alpha_3'(t)\,\beta_2(t)-\alpha_3(t)\,\beta_2'(t),
e isso equivale exatamente à componente 1 de
\alpha'(t)\times\beta(t)+\alpha(t)\times\beta'(t).
Analogamente nas outras componentes, ficando
\Gamma'(t)=\alpha'(t)\times\beta(t)+\alpha(t)\times\beta'(t).

Passo 4

Para o produto misto
m(t)=[\alpha(t),\beta(t),\gamma(t)] =\langle\alpha(t),\,\beta(t)\times\gamma(t)\rangle
aplicamos a regra da derivada do produto interno e a do produto vetorial já obtida:
m'(t) =\langle\alpha'(t),\,\beta(t)\times\gamma(t)\rangle +\langle\alpha(t),\,(\beta(t)\times\gamma(t))'\rangle.
Mas
(\beta\times\gamma)'=\beta'\times\gamma+\beta\times\gamma',
portanto
m'(t) =[\alpha'(t),\beta(t),\gamma(t)] +[\alpha(t),\beta'(t),\gamma(t)] +[\alpha(t),\beta(t),\gamma'(t)].

Passo 5

Para a norma \rho(t)=\|\alpha(t)\|=\sqrt{\langle\alpha(t),\alpha(t)\rangle} usamos a regra da cadeia:
\rho'(t) =\frac{1}{2\sqrt{\langle\alpha,\alpha\rangle}} \frac{d}{dt}\langle\alpha,\alpha\rangle =\frac{1}{2\|\alpha(t)\|}\,2\,\langle\alpha(t),\alpha'(t)\rangle =\frac{\langle\alpha(t),\alpha'(t)\rangle}{\|\alpha(t)\|}.

Resposta

a)
f'(t)=\langle\alpha'(t),\beta(t)\rangle+\langle\alpha(t),\beta'(t)\rangle, \quad \Gamma'(t)=\alpha'(t)\times\beta(t)+\alpha(t)\times\beta'(t).
b)
\frac{d}{dt}[\alpha,\beta,\gamma] =[\alpha',\beta,\gamma]+[\alpha,\beta',\gamma]+[\alpha,\beta,\gamma'],
\frac{d}{dt}\|\alpha(t)\| =\frac{\langle\alpha(t),\alpha'(t)\rangle}{\|\alpha(t)\|}.

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