Calcule, se existirem, os seguintes limites, justificando todas as passagens:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \operatorname{sen}\left(\frac{x^{2} y^{8}}{x^{4}+y^{8}}\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{x^{2}y^{8}}{x^{4}+y^{8}}\Bigr).
Trata‐se de um limite em duas variáveis. Vamos usar que o seno é limitado e depois aplicar o Teorema do Aperto (ou “Squeeze Theorem”) em coordenadas polares.

Passo 2

Sabemos que, para todo t\in\mathbb{R},
\bigl|\operatorname{sen}(t)\bigr|\le 1.
Logo, denotando
f(x,y)=\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{x^{2}y^{8}}{x^{4}+y^{8}}\Bigr),
temos
\bigl|f(x,y)\bigr| \le \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,\bigl|\operatorname{sen}(\cdot)\bigr| \le \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.

Passo 3

Para mostrar que \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\to 0 quando (x,y)\to(0,0), usamos coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
com r\ge0 e \theta qualquer. Então
\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} = \frac{r^{2}\cos^{2}\theta}{r} = r\,\cos^{2}\theta.
Como r\to 0 implica r\cos^{2}\theta\to 0 independentemente de \theta, concluímos
\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\;\xrightarrow[(x,y)\to(0,0)]{}\;0.

Passo 4

Pelo Teorema do Aperto, como
-\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \;\le\; f(x,y) \;\le\; \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},
e ambos os extremos tendem a 0 em (0,0), segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.

Resposta

0

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