Calcule, se existirem, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}+2}{\sqrt{x^{2}+1}+5}

Passo 1

O enunciado pede o limite da função
\frac{x^{3}+2}{\sqrt{x^{2}+1}+5}
quando x\to0. O conteúdo é cálculo de limites de funções envolvendo polinômios e raiz quadrada, usando a propriedade de continuidade.

Passo 2

Observamos que tanto o numerador x^{3}+2 quanto o denominador \sqrt{x^{2}+1}+5 são combinações de funções contínuas em torno de x=0. Além disso,
\sqrt{x^{2}+1}+5 \ge 1 + 5 = 6 > 0,
logo o denominador não se anula perto de x=0.

Passo 3

Pela continuidade, podemos substituir x=0 diretamente no quociente:
\lim_{x\to0}\frac{x^{3}+2}{\sqrt{x^{2}+1}+5} =\frac{0^{3}+2}{\sqrt{0^{2}+1}+5} =\frac{2}{1+5} =\frac{2}{6} =\frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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