Calcule, se existirem, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to3}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x},
que envolve funções elementares (raiz quadrada e divisão). Para resolver, vamos checar se podemos usar a substituição direta, apoiados na continuidade dessas funções.

Passo 2

A função x\mapsto\sqrt{1+x} é contínua no ponto x=3, e o denominador x em x=3 não se anula. Logo, podemos simplesmente substituir x=3 na expressão.

Passo 3

Ao substituir x=3, obtemos
\sqrt{1+3}-1=2-1=1
no numerador e
x=3
no denominador. Portanto o quociente vale
\frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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