Calcule, se existirem, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}-3 x^{2}-18 x+40}{x^{2}+x-6}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to2}\frac{x^{3}-3x^{2}-18x+40}{x^{2}+x-6}.
O conteúdo principal é o tratamento de indeterminação do tipo \tfrac{0}{0} via fatoração de polinômios.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada fazendo a substituição direta:
\text{numerador em }x=2:\;2^{3}-3\cdot2^{2}-18\cdot2+40=8-12-36+40=0,
\text{denominador em }x=2:\;2^{2}+2-6=4+2-6=0.
Como obtemos 0/0, podemos simplificar fatorando ambos.

Passo 3

Fatoramos o denominador e o numerador:
x^{2}+x-6=(x-2)(x+3),
e para o numerador aplicamos divisão sintética por x-2:
x^{3}-3x^{2}-18x+40=(x-2)\bigl(x^{2}-x-20\bigr) =(x-2)(x-5)(x+4).

Passo 4

Cancelamos o fator comum (x-2) em numerador e denominador, obtendo a função simplificada
\frac{(x-2)(x-5)(x+4)}{(x-2)(x+3)} =\frac{(x-5)(x+4)}{x+3},\quad x\neq2.
Agora calculamos o limite simplificado em x=2:
\lim_{x\to2}\frac{(x-5)(x+4)}{x+3} =\frac{(2-5)(2+4)}{2+3} =\frac{-3\cdot6}{5} =-\frac{18}{5}.

Resposta

-\frac{18}{5}

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