Calcule as exponenciais:
e^{(2 \pm 3 \pi i)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as exponenciais complexas
e^{(2 + 3\pi i)} \quad\text{e}\quad e^{(2 - 3\pi i)}.
O conteúdo envolve a fórmula de Euler para números complexos e a propriedade de periodicidade da função exponencial complexa.

Passo 2

Vamos separar a parte real da parte imaginária em cada exponencial, usando a propriedade
e^{a+b} = e^a \,e^b.
Assim, para o sinal mais e para o sinal menos temos
e^{(2 \pm 3\pi i)} = e^2 \; e^{\pm 3\pi i}.

Passo 3

Aplicamos a fórmula de Euler
e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\,\sin(\theta),
com \theta = 3\pi. Isso dá
e^{\pm 3\pi i} = \cos(3\pi) \pm i\,\sin(3\pi).

Passo 4

Calculamos os valores de seno e cosseno em 3\pi:
\cos(3\pi) = -1, \qquad \sin(3\pi) = 0.
Portanto
e^{\pm 3\pi i} = -1 \pm i\cdot 0 = -1.

Passo 5

Substituindo de volta em e^2\,e^{\pm 3\pi i}, obtemos
e^{(2 \pm 3\pi i)} = e^2 \times (-1) = -\,e^2.

Resposta

e^{(2 + 3\pi i)} = -e^2, \quad e^{(2 - 3\pi i)} = -e^2.

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