a. (2 pontos) Escreva o problema de maximização de lucro da firma e encontre as CPOs. Qual é a CSO ?
b. (2 pontos) Considere
. Encontre
e
que resolvem o problema do item anterior.
b. (2 pontos) Considere
Passo 1
O enunciado pede que formulemos o problema de maximização de lucro de uma firma que usa capital
e trabalho
para produzir uma quantidade
vendida a preço
, pagando aluguel do capital a
e salário a
. Precisamos escrever o problema, obter as Condições de Primeira Ordem (CPO) para
e
e enunciar a Condição de Segunda Ordem (CSO). Em seguida, para
, resolver as CPO e encontrar as soluções ótimas
e
.
Passo 2
O problema de maximização de lucro é
As CPO exigem que as derivadas parciais de
se anulem interiormente:
A CSO para garantir máximo decorre de exigir que a matriz Hessiana de
seja definida negativa, ou seja:
onde
.
Passo 3
Para
calculamos as marginais:
As CPO são
Fazendo o quociente da primeira pela segunda obtemos
Substituindo essa relação na primeira CPO:
leva a
Então