a. (2 pontos) Escreva o problema de maximização de lucro da firma e encontre as CPOs. Qual é a CSO ?
b. (2 pontos) Considere f(K, L)=K^{\frac{1}{3}} L^{\frac{1}{4}}. Encontre K^{*} e L^{*} que resolvem o problema do item anterior.

Passo 1

O enunciado pede que formulemos o problema de maximização de lucro de uma firma que usa capital K e trabalho L para produzir uma quantidade f(K,L) vendida a preço p, pagando aluguel do capital a r e salário a w. Precisamos escrever o problema, obter as Condições de Primeira Ordem (CPO) para K e L e enunciar a Condição de Segunda Ordem (CSO). Em seguida, para f(K,L)=K^{\frac{1}{3}}L^{\frac{1}{4}}, resolver as CPO e encontrar as soluções ótimas K^* e L^*.

Passo 2

O problema de maximização de lucro é
\max_{K\ge0,L\ge0}\;\pi(K,L)=p\,f(K,L)\;-\;rK\;-\;wL.
As CPO exigem que as derivadas parciais de \pi se anulem interiormente:
\frac{\partial\pi}{\partial K}=p\,f_K(K,L)-r=0, \quad \frac{\partial\pi}{\partial L}=p\,f_L(K,L)-w=0.
A CSO para garantir máximo decorre de exigir que a matriz Hessiana de \pi seja definida negativa, ou seja:
\pi_{KK}<0 \quad\text{e}\quad \pi_{KK}\,\pi_{LL}-(\pi_{KL})^2>0,
onde \pi_{ij}=\frac{\partial^2\pi}{\partial i\,\partial j}.

Passo 3

Para f(K,L)=K^{\frac{1}{3}}L^{\frac{1}{4}} calculamos as marginais:
f_K=\tfrac{1}{3}K^{-\frac{2}{3}}L^{\frac{1}{4}}, \quad f_L=\tfrac{1}{4}K^{\frac{1}{3}}L^{-\frac{3}{4}}.
As CPO são
p\cdot\tfrac{1}{3}K^{-\frac{2}{3}}L^{\frac{1}{4}}=r, \quad p\cdot\tfrac{1}{4}K^{\frac{1}{3}}L^{-\frac{3}{4}}=w.
Fazendo o quociente da primeira pela segunda obtemos
\frac{L/K}{1}=\frac{3r}{4w}, \quad\text{ou seja}\quad L=\frac{3r}{4w}\,K.
Substituindo essa relação na primeira CPO:
p\cdot\tfrac{1}{3}K^{-\frac{2}{3}}\Bigl(\tfrac{3r}{4w}K\Bigr)^{\tfrac{1}{4}}=r
leva a
K^{-\frac{5}{12}} =\frac{3r}{p}\Bigl(\tfrac{3r}{4w}\Bigr)^{-\tfrac{1}{4}} \quad\Longrightarrow\quad K^*=\Biggl[ \frac{p}{3r}\Bigl(\tfrac{3r}{4w}\Bigr)^{\tfrac{1}{4}} \Biggr]^{\!\tfrac{12}{5}}.
Então
L^*=\frac{3r}{4w}\,K^*.

Resposta

K^*=\displaystyle\Bigl[\frac{p}{3r}\bigl(\tfrac{3r}{4w}\bigr)^{\!1/4}\Bigr]^{12/5},\quad L^*=\frac{3r}{4w}\;K^*.

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