Considere o modelo IS-LM não-linear:
\begin{aligned} Y & =C+I+G \\\ C & =c\left(Y^{d}\right) \\\ Y^{d} & =Y-T \\\ I & =I_{G}+I_{P} \\\ I_{P} & =I_{P}\left(r-\pi^{e}\right) \\\ M^{s} & =\bar{M} \\\ M^{d} & =M(Y, r) \end{aligned}
As funções acima satisfazem 0<c^{\prime}<1, onde c^{\prime}=\frac{\partial c}{\partial Y^{d}}, I_{P}^{\prime}=\frac{\partial I_{P}}{\partial\left(r-\pi^{e}\right)}<0, M_{Y}=\frac{\partial M}{\partial Y}>0, M_{r}=\frac{\partial M}{\partial r}< 0. O equilíbrio do modelo IS-LM ocorre quando a demanda e a oferta estão equilibradas tanto no mercado monetário como no mercado de bens. De posse dessas informações, responda:
  1. Apresente o sistema que resolve o modelo IS-LM em sua forma matricial e diferencie totalmente suas equações.
  2. De que modo um aumento no consumo do governo afeta o equilíbrio de produto Y e juros r no modelo?
  3. E um aumento na oferta monetária \bar{M} ?

Passo 1

O enunciado apresenta o modelo não-linear IS-LM com duas condições de equilíbrio:
• mercado de bens:
Y = C + I + G,\quad C = c(Y-T),\quad I = I_{G}+I_{P}\bigl(r-\pi^{e}\bigr)
• mercado de dinheiro:
M(Y,r)=\bar M.
Queremos montar o sistema em variáveis (Y,r), diferenciá-lo totalmente e, em seguida, ver como um choque dG ou d\bar M afeta (Y,r). Precisamos dos parciais c'=\partial c/\partial Y^{d}\in(0,1), I_{P}'<0, M_{Y}>0 e M_{r}<0.

Passo 2

Vamos escrever as duas equações de equilíbrio como funções nulas de (Y,r):
F_{1}(Y,r;G)\equiv Y - c(Y-T) - I_{G} - I_{P}(r-\pi^{e}) - G = 0,
F_{2}(Y,r;\bar M)\equiv M(Y,r) - \bar M = 0.
Em seguida, formamos o sistema matricial das diferenciais totais:
\begin{pmatrix} \partial_{Y}F_{1} & \partial_{r}F_{1}\\[6pt] \partial_{Y}F_{2} & \partial_{r}F_{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dY\\[3pt] dr \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\partial_{G}F_{1}\,dG\\[6pt] -\partial_{\bar M}F_{2}\,d\bar M \end{pmatrix}.]

Passo 3

Calculamos os parciais:
\partial_{Y}F_{1} = 1 - c',\quad \partial_{r}F_{1} = -I_{P}',\quad \partial_{Y}F_{2} = M_{Y},\quad \partial_{r}F_{2} = M_{r},
e
\partial_{G}F_{1}=-1,\quad \partial_{\bar M}F_{2}=-1.
Logo o sistema fica
\begin{pmatrix} 1-c' & -I_{P}'\\[4pt] M_{Y} & M_{r} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dY\\[3pt] dr \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} dG\\[4pt] d\bar M \end{pmatrix}.
Denotando o determinante por
\Delta = (1-c')\,M_{r} - \bigl(-I_{P}'\bigr)\,M_{Y} = (1-c')\,M_{r} + I_{P}'\,M_{Y}\,<0,
podemos inverter a matriz.]

Passo 4

Resolvendo para (dY,dr):
\begin{pmatrix} dY\\[3pt] dr \end{pmatrix} =\frac{1}{\Delta} \begin{pmatrix} M_{r} & I_{P}'\\[4pt] -\,M_{Y} & 1-c' \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dG\\[4pt] d\bar M \end{pmatrix}.
Para um choque fiscal dG>0 (com d\bar M=0):
dY = \frac{M_{r}}{\Delta}\,dG,\quad dr = -\,\frac{M_{Y}}{\Delta}\,dG.
Como M_{r}<0 e \Delta<0, segue dY>0. Como M_{Y}>0 e \Delta<0, segue dr>0.]

Passo 5

Para um choque monetário d\bar M>0 (com dG=0):
dY = \frac{I_{P}'}{\Delta}\,d\bar M,\quad dr = \frac{1-c'}{\Delta}\,d\bar M.
Aqui I_{P}'<0 e \Delta<0 dY>0. E (1-c')>0, \Delta<0 dr<0.

Resposta

(a) Em forma matricial e diferenciada:
\begin{pmatrix} 1-c' & -I_{P}'\\[4pt] M_{Y} & M_{r} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dY\\\ dr \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} dG\\\ d\bar M \end{pmatrix}.
(b) Um aumento de G eleva tanto Y quanto r.
(c) Um aumento de \bar M eleva Y e reduz r.]

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