Calcule a expressão dada sem usar uma calculadora:
8^{2 / 3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular sem calculadora a expressão \,8^{2/3}\,. A única informação dada é essa expressão.

Passo 2

Regra essencial (explicação didática): para qualquer número positivo a e inteiros positivos m e n vale
a^{m/n} = \bigl(a^{1/n}\bigr)^{m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}.
O que isso significa, em palavras simples:
  • a^{1/n} é a raiz enésima de a, isto é, o número que elevado à potência n a.
  • a^{m/n} é primeiro tirar a raiz enésima de a e depois elevar ao expoente m, ou então elevar a a m e depois tirar a raiz enésima. As duas formas dão o mesmo resultado.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso: aqui m=2 e n=3. Então
8^{2/3} = \bigl(8^{1/3}\bigr)^{2} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^{2}.
Agora calculamos \sqrt[3]{8}. Procuramos um número que, elevado ao cubo, resulte em 8. Como
2^{3} = 8,
temos \sqrt[3]{8}=2.

Passo 4

Então substituindo:
8^{2/3} = \bigl(\sqrt[3]{8}\bigr)^{2} = 2^{2} = 4.
Para checar que a outra forma dá o mesmo resultado: primeiro elevar 8 ao quadrado e depois tirar a raiz cúbica,
8^{2} = 64,\qquad \sqrt[3]{64}=4,
o que confirma o resultado.

Passo 5

Exemplo extra rápido para fixar: \;27^{2/3}=(\sqrt[3]{27})^{2}=3^{2}=9. Isso ajuda a ver o padrão: raiz cúbica de 27 é 3, depois ao quadrado dá 9.

Resposta

4

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