Calcule a expressão dada sem usar uma calculadora:
27^{-4 / 3}

Passo 1

O problema pede calcular a expressão \,27^{-4/3}\, sem usar calculadora. A única informação dada é esse número com expoente racional negativo.

Passo 2

Relembrando duas regras de potências que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra do expoente negativo: para qualquer a\neq0 e k>0,
a^{-k}=\frac{1}{a^{k}}.
Isto significa que um expoente negativo inverte a base (faz o recíproco).
  • Regra do expoente racional: para a>0 e inteiros m,n com n>0,
a^{m/n}=\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{m}=\bigl(a^{m}\bigr)^{1/n}.
Ou seja, o denominador do expoente indica raiz e o numerador indica potência.
Também usaremos a propriedade potência de potência:
\bigl(a^{b}\bigr)^{c}=a^{bc}.

Passo 3

Observação útil: 27 é uma potência inteira de 3. Escrevemos
27=3^{3},
pois 3^{3}=3\cdot3\cdot3=27.

Passo 4

Substituindo \,27=3^{3}\, na expressão e aplicando a propriedade potência de potência:
27^{-4/3}=\bigl(3^{3}\bigr)^{-4/3}=3^{3\cdot(-4/3)}.
Calcule o produto dos expoentes:
3\cdot\left(-\tfrac{4}{3}\right)=-4.
Portanto
27^{-4/3}=3^{-4}.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do expoente negativo:
3^{-4}=\frac{1}{3^{4}}.
E 3^{4}=3\cdot3\cdot3\cdot3=81. Logo
3^{-4}=\frac{1}{81}.

Resposta

\dfrac{1}{81}

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