Calcule a expressão dada sem usar uma calculadora:
\frac{\sqrt{27}(\sqrt{3})^{3}}{9}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede. Foi dada a expressão
\frac{\sqrt{27}\,(\sqrt{3})^{3}}{9}
e o pedido é: calcular o valor numérico dessa expressão sem usar calculadora.

Passo 2

Relembrando as regras e propriedades que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • A raiz quadrada pode ser escrita como potência: \sqrt{a}=a^{1/2}. Aqui a é qualquer número não negativo.
  • Potências compostas: \bigl(a^{m}\bigr)^{n}=a^{mn}.
  • Produto de potências com mesma base: a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}.
  • Para raízes, \sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b} quando a\ge0 e b\ge0.
    Exemplos rápidos e fáceis para fixar:
  • \sqrt{9}=3 porque 3^2=9.
  • (\sqrt{2})^2=2 porque elevar ao quadrado cancela a raiz.

Passo 3

Simplificar \sqrt{27}. Como 27=9\cdot3, usamos \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}:
\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=\sqrt{9}\,\sqrt{3}=3\sqrt{3}.

Passo 4

Simplificar (\sqrt{3})^{3}. Uma forma direta é separar a potência:
(\sqrt{3})^{3}=(\sqrt{3})^{2}\cdot\sqrt{3}=3\cdot\sqrt{3}.
(Usou-se (\sqrt{3})^{2}=3.)

Passo 5

Substituir as simplificações na expressão original:
\frac{\sqrt{27}\,(\sqrt{3})^{3}}{9}=\frac{(3\sqrt{3})\cdot(3\sqrt{3})}{9}.
Agora multiplicar os fatores do numerador:
(3\sqrt{3})\cdot(3\sqrt{3})=9\cdot(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3})=9\cdot 3=27,
porque \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=(\sqrt{3})^{2}=3.

Passo 6

Dividir pelo denominador:
\frac{27}{9}=3.

Resposta

3

Exercícios relacionados