Calcule a expressão dada sem usar uma calculadora:
\left[\sqrt{8}\left(2^{5 / 2}\right)\right]^{-1 / 2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular sem calculadora o valor da expressão \left[\sqrt{8}\left(2^{5/2}\right)\right]^{-1/2}. Informação dada explicitamente:
  • A expressão inteira é \left[\sqrt{8}\left(2^{5/2}\right)\right]^{-1/2}.
  • O objetivo é simplificar e obter um número racional exato.

Passo 2

Vamos recordar regras de potências e radicais que usaremos (explicadas de forma direta e com exemplos pequenos).
  • Transformar raiz em potência: \sqrt{a}=a^{1/2}. Exemplo: \sqrt{9}=9^{1/2}=3.
  • Produto de potências de mesma base: a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}. Exemplo: 2^{3}\cdot2^{4}=2^{3+4}=2^{7}.
  • Potência de potência: (a^{m})^{n}=a^{m n}. Exemplo: (2^{3})^{2}=2^{3\cdot2}=2^{6}.
  • Expoente negativo: a^{-1}=\dfrac{1}{a}. Em geral a^{-b}=\dfrac{1}{a^{b}}.
    Essas regras são suficientes para simplificar a expressão.

Passo 3

Converter \sqrt{8} em potência com expoente fracionário:
\sqrt{8}=8^{1/2}.
Como 8=2^{3}, então
8^{1/2}=(2^{3})^{1/2}=2^{3\cdot(1/2)}=2^{3/2}.

Passo 4

Substituir \sqrt{8} por 2^{3/2} na expressão interna:
\sqrt{8}\left(2^{5/2}\right)=2^{3/2}\cdot2^{5/2}.
Agora usamos a regra do produto de potências com mesma base (somar expoentes):
2^{3/2}\cdot2^{5/2}=2^{(3/2+5/2)}=2^{8/2}=2^{4}.

Passo 5

Portanto a parte entre colchetes vale
\sqrt{8}\left(2^{5/2}\right)=2^{4}=16.

Passo 6

Agora aplicamos o expoente externo -1/2:
\left[\sqrt{8}\left(2^{5/2}\right)\right]^{-1/2}=16^{-1/2}.
Usando 16=(2^{4}) e a regra de potência de potência:
16^{-1/2}=(2^{4})^{-1/2}=2^{4\cdot(-1/2)}=2^{-2}.
Expoente negativo significa recíproco:
2^{-2}=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}.

Passo 7

Como verificação alternativa curta: também poderíamos ter feito 16^{-1/2}=(\sqrt{16})^{-1}=4^{-1}=\tfrac{1}{4}. Ambos levam ao mesmo resultado.

Resposta

\frac{1}{4}

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