Calcule a expressão dada sem usar uma calculadora:
\left[\sqrt{27}\left(3^{5 / 2}\right)\right]^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular, sem calculadora, a expressão
\left[\sqrt{27}\left(3^{5 / 2}\right)\right]^{1 / 2}.
Informações dadas: dentro do colchete há o produto de \sqrt{27} por 3^{5/2}, e todo esse produto é elevado à potência 1/2 (ou seja, aplicada uma raiz quadrada no resultado).

Passo 2

Transformar radicais em potências para trabalhar com expoentes de forma sistemática. Lembrando que a raiz quadrada corresponde à potência 1/2:
\sqrt{27}=27^{1/2}.
Também sabemos que 27=3^3. Substituindo:
\sqrt{27}=(3^3)^{1/2}.
Usando a propriedade de potências (x^a)^b=x^{ab}, obtemos
(3^3)^{1/2}=3^{3\cdot(1/2)}=3^{3/2}.

Passo 3

Substituir \sqrt{27} por 3^{3/2} no produto interno:
\sqrt{27}\cdot 3^{5/2}=3^{3/2}\cdot 3^{5/2}.
Quando multiplicamos potências de mesma base, somamos os expoentes:
3^{3/2}\cdot 3^{5/2}=3^{(3/2+5/2)}.
Calcule a soma dos expoentes:
3/2+5/2=(3+5)/2=8/2=4,
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3^{3/2}\cdot 3^{5/2}=3^{4}.

Passo 4

Agora temos a expressão interna simplificada e aplicamos a potência externa 1/2:
\left[3^{4}\right]^{1/2}.
Aplicando novamente (x^a)^b=x^{ab}:
\left[3^{4}\right]^{1/2}=3^{4\cdot(1/2)}=3^{2}.

Passo 5

Calcule 3^{2}:
3^{2}=9.
Portanto a expressão original vale 9.

Resposta

9

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