Calcule a expressão.
k)
k)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a expressão
.\n
Informações dadas: a base da potência é e o expoente é o logaritmo na base
do número
.\n
Condição necessária para que o logaritmo exista: o argumento é positivo e a base
é positiva e diferente de
, então a expressão está bem definida.
Informações dadas: a base da potência é
Condição necessária para que o logaritmo exista: o argumento
Passo 2
Vamos revisar o que significa
. Por definição,
é o número
tal que
onde vale
,
e
.\n
Ou seja, o logaritmo transforma uma potência de volta no seu expoente: se então
.\n
Exemplo simples para fixar: porque
. Outro exemplo:
porque
.
Ou seja, o logaritmo transforma uma potência de volta no seu expoente: se
Exemplo simples para fixar:
Passo 3
Aplique a definição diretamente à expressão. Seja
Pela definição de logaritmo temos
.\n
Agora observe que a expressão que queremos calcular é exatamente . Como acabamos de ver,
. Portanto
Agora observe que a expressão que queremos calcular é exatamente
Passo 4
Para reforçar (um truque que pode aparecer em provas): use a fórmula de mudança de base
onde
é o logaritmo natural. Então
Escrevendo
temos
Isso confirma o resultado e mostra por que a propriedade geral
vale sempre.
Passo 5
Checagem final: como
,
e
, não há nenhuma violação das condições do logaritmo. O resultado é consistente.