Calcule a expressão.
k) 5^{\log _{5} 27}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão \,5^{\log_{5} 27}\,.\n
Informações dadas: a base da potência é \,5\, e o expoente é o logaritmo na base \,5\, do número \,27\,.\n
Condição necessária para que o logaritmo exista: o argumento \,27\, é positivo e a base \,5\, é positiva e diferente de \,1, então a expressão está bem definida.

Passo 2

Vamos revisar o que significa \log_{a} b. Por definição, \log_{a} b é o número \,c\, tal que
a^{c}=b,
onde vale \,a>0, \,a\neq1 e \,b>0.\n
Ou seja, o logaritmo transforma uma potência de volta no seu expoente: se \,c=\log_{a} b então \,a^{c}=b.\n
Exemplo simples para fixar: \log_{10} 100=2 porque \,10^{2}=100. Outro exemplo: \log_{5} 25=2 porque \,5^{2}=25.

Passo 3

Aplique a definição diretamente à expressão. Seja
y=\log_{5} 27.
Pela definição de logaritmo temos \,5^{y}=27.\n
Agora observe que a expressão que queremos calcular é exatamente \,5^{\log_{5} 27}=5^{y}. Como acabamos de ver, \,5^{y}=27. Portanto
5^{\log_{5} 27}=27.

Passo 4

Para reforçar (um truque que pode aparecer em provas): use a fórmula de mudança de base
\log_{5} 27=\frac{\ln 27}{\ln 5},
onde \,\ln é o logaritmo natural. Então
5^{\log_{5} 27}=5^{\frac{\ln 27}{\ln 5}}.
Escrevendo 5=e^{\ln 5} temos
5^{\frac{\ln 27}{\ln 5}}=\bigl(e^{\ln 5}\bigr)^{\frac{\ln 27}{\ln 5}}=e^{\ln 5\cdot\frac{\ln 27}{\ln 5}}=e^{\ln 27}=27.
Isso confirma o resultado e mostra por que a propriedade geral \,a^{\log_{a} b}=b\, vale sempre.

Passo 5

Checagem final: como \,5>0, \,5\neq1 e \,27>0, não há nenhuma violação das condições do logaritmo. O resultado é consistente.

Resposta

27

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