Verifique se os subconjuntos do R^2, definidos pelas condições a seguir são limitados e fechados.
(b) x^2-y^2=1, x<3;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! A gente precisa verificar se o conjunto definido por e no plano é limitado e fechado. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e topologia básica. Vamos precisar entender o que significa um conjunto ser limitado (ou seja, estar dentro de algum círculo de raio finito) e fechado (que contém seus pontos de limite).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que representa a equação . Essa é a equação de uma hipérbole. Mais especificamente, é uma hipérbole centralizada na origem com ramos abertos para a esquerda e para a direita ao longo do eixo x.

Passo 3

Agora, o segundo critério é . Isso significa que estamos considerando apenas os pontos da hipérbole onde a coordenada x é menor que 3. Então, basicamente, estamos “cortando” a hipérbole pelo vertical x = 3 e olhando apenas para a parte onde x é menor que 3.

Passo 4

Vamos verificar se o conjunto é limitado. Um conjunto é limitado se todos os seus pontos estiverem dentro de alguma distância finita do ponto de origem. No caso da hipérbole , conforme nos afastamos do centro, os valores de y crescem sem limite à medida que x se aproxima de 3 (já que x é limitado por x < 3). Portanto, os valores de y podem se tornar muito grandes, o que significa que o conjunto não está confinado dentro de um círculo de raio finito. Logo, o conjunto não é limitado.

Passo 5

Agora, vamos ver se o conjunto é fechado. Um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos de limite. A equação define uma hipérbole que é uma curva fechada no sentido topológico, e a condição não exclui nenhum ponto da hipérbole (apenas corta o domínio de x, mas como não incluímos o limite x = 3, precisamos verificar se pontos próximos ainda estão no conjunto). No entanto, como a hipérbole estende-se infinitamente, mesmo cortando em x < 3, não adicionamos nenhum ponto de limite extra. Portanto, o conjunto é fechado.

Resposta

O conjunto definido por e não é limitado, mas é fechado.

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