1. Uma equipe de engenheiros está projetando um microssensor de ressonância para uso industrial. O deslocamento y da haste vibratória do sensor em relação à sua posição de equilíbrio, no instante de tempo t, é governado pela equação diferencial
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+9 y=0
Durante a modelagem, os doutorandos propuseram duas funções para descrever o movimento: y_{1}(t)= \cos (3 t) e y_{2}(t)=\sin (3 t). Verifique se as funções y_{1}(t) e y_{2}(t) são soluções desta EDO. Prove que essas duas funções são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental de soluções para a EDO. A partir desse conjunto, escreva a solução geral do modelo. Determine a solução particular do Problema de Valor Inicial (PVI) dado por y(0)=4 e y^{\prime}(0)=-6.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente ficar alinhado (sem resolver nada ainda).
  • EDO dada:
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+9y=0.
  • Duas funções propostas:
y_{1}(t)=\cos(3t),\qquad y_{2}(t)=\sin(3t).
  • Pede-se:
    1. Verificar se y_{1} e y_{2} são soluções da EDO.
    2. Provar que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental de soluções.
    3. A partir disso, escrever a solução geral da EDO.
    4. Determinar a solução particular do PVI com condições iniciais
    y(0)=4,\qquad y'(0)=-6.

Passo 2

Verificar se y_{1}(t)=\cos(3t) é solução. Primeiro calculo as derivadas necessárias, explicando passo a passo como faço derivadas de funções trigonométricas compostas.
Regra usada: se u(t)=\cos(u(t)) com u(t)=3t, então por regra da cadeia a derivada é -\sin(u(t))\cdot u'(t). Aqui u'(t)=3.
  • Derivada primeira:
y_{1}'(t) = \frac{d}{dt}\cos(3t) = -\sin(3t)\cdot 3 = -3\sin(3t).
  • Derivada segunda:
y_{1}''(t) = \frac{d}{dt}(-3\sin(3t)) = -3\cos(3t)\cdot 3 = -9\cos(3t).
Agora substituo na EDO \dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}+9y=0:
y_{1}''(t)+9y_{1}(t)=(-9\cos(3t))+9\cos(3t)=0.
Como a soma é zero para todo t, concluo que y_{1} é solução da EDO.

Passo 3

Verificar se y_{2}(t)=\sin(3t) é solução. Faço as derivadas da mesma forma.
  • Derivada primeira:
y_{2}'(t) = \frac{d}{dt}\sin(3t) = \cos(3t)\cdot 3 = 3\cos(3t).
  • Derivada segunda:
y_{2}''(t) = \frac{d}{dt}(3\cos(3t)) = 3(-\sin(3t))\cdot 3 = -9\sin(3t).
Substituindo na EDO:
y_{2}''(t)+9y_{2}(t)=(-9\sin(3t))+9\sin(3t)=0.
Portanto y_{2} também é solução da EDO.

Passo 4

Explicação do que significa “linearmente independentes” e “conjunto fundamental” (didático e direto).
  • Linearmente independentes (no contexto de soluções de uma EDO linear homogênea de segunda ordem) significa que não existem constantes a,b, não simultaneamente nulas, tais que a y_{1}(t)+b y_{2}(t)\equiv 0 para todo t no intervalo considerado.
  • Um “conjunto fundamental de soluções” para uma EDO linear homogênea de segunda ordem é um par de soluções linearmente independentes; qualquer solução geral da EDO pode ser escrita como combinação linear dessas duas.
  • Ferramenta prática para testar independência: o Wronskiano. Para duas funções y_{1},y_{2} define-se o Wronskiano
W(y_{1},y_{2})(t)=\begin{vmatrix} y_{1}(t) & y_{2}(t)\\[4pt] y_{1}'(t) & y_{2}'(t) \end{vmatrix}=y_{1}(t)y_{2}'(t)-y_{2}(t)y_{1}'(t).
Se W(t_0)\neq 0 para algum t_0 do intervalo, então y_{1} e y_{2} são linearmente independentes em todo o intervalo. (Isto vem de um teorema padrão sobre ODEs lineares; aqui basta usar a propriedade prática.)]

Passo 5

Calcular o Wronskiano para y_{1}=\cos(3t) e y_{2}=\sin(3t). Já temos as derivadas dos passos anteriores:
y_{1}(t)=\cos(3t),\quad y_{1}'(t)=-3\sin(3t),
y_{2}(t)=\sin(3t),\quad y_{2}'(t)=3\cos(3t).
Agora o determinante:
W(y_{1},y_{2})(t)=\cos(3t)\cdot(3\cos(3t))-\sin(3t)\cdot(-3\sin(3t)).
Simplificando,
W(y_{1},y_{2})(t)=3\big(\cos^{2}(3t)+\sin^{2}(3t)\big)=3\cdot 1=3.
O Wronskiano vale exatamente \,3 para todo t, ou seja, é diferente de zero para todo t. Logo y_{1} e y_{2} são linearmente independentes em \mathbb{R} (em qualquer intervalo real).

Passo 6

Conclusão sobre conjunto fundamental e solução geral.
  • Como encontramos duas soluções linearmente independentes de uma EDO linear homogênea de segunda ordem, elas formam um conjunto fundamental de soluções.
  • Portanto a solução geral da EDO é a combinação linear:
y(t)=C_{1}\cos(3t)+C_{2}\sin(3t),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinado por condições iniciais).

Passo 7

Resolver o PVI com condições y(0)=4 e y'(0)=-6.
Começo usando a solução geral:
y(t)=C_{1}\cos(3t)+C_{2}\sin(3t).
Avalio em t=0:
y(0)=C_{1}\cos(0)+C_{2}\sin(0)=C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 0 = C_{1}.
Pela condição y(0)=4 temos
C_{1}=4.
Agora preciso da derivada y'(t). Diferencio termo a termo (explicando: derivada de \cos(3t) é -3\sin(3t), e de \sin(3t) é 3\cos(3t)):
y'(t)=C_{1}(-3\sin(3t))+C_{2}(3\cos(3t))=-3C_{1}\sin(3t)+3C_{2}\cos(3t).
Avalio em t=0:
y'(0)=-3C_{1}\sin(0)+3C_{2}\cos(0) = -3C_{1}\cdot 0 + 3C_{2}\cdot 1 = 3C_{2}.
Pela condição y'(0)=-6 temos
3C_{2}=-6 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=-2.

Passo 8

Escrever a solução particular do PVI substituindo C_{1}=4 e C_{2}=-2 na solução geral:
y(t)=4\cos(3t)-2\sin(3t).

Resposta

Solução geral: y(t)=C_{1}\cos(3t)+C_{2}\sin(3t)
Solução particular do PVI: y(t)=4\cos(3t)-2\sin(3t)

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