Uma equipe de engenheiros está projetando um microssensor de ressonância para uso industrial. O deslocamento y da haste vibratória do sensor em relação à sua posição de equilíbrio, no instante de tempo t, é governado pela equação diferencial
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+9 y=0
Durante a modelagem, os doutorandos propuseram duas funções para descrever o movimento: y_{1}(t)= \cos (3 t) e y_{2}(t)=\sin (3 t). Verifique se as funções y_{1}(t) e y_{2}(t) são soluções desta EDO. Prove que essas duas funções são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental de soluções para a EDO. A partir desse conjunto, escreva a solução geral do modelo. Determine a solução particular do Problema de Valor Inicial (PVI) dado por y(0)=4 e y^{\prime}(0)=-6.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente ficar alinhado (sem resolver nada ainda).
EDO dada:
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+9y=0.
Duas funções propostas:
y_{1}(t)=\cos(3t),\qquad y_{2}(t)=\sin(3t).
Pede-se:
Verificar se y_{1} e y_{2} são soluções da EDO.
Provar que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental de soluções.
A partir disso, escrever a solução geral da EDO.
Determinar a solução particular do PVI com condições iniciais
y(0)=4,\qquad y'(0)=-6.
Passo 2
Verificar se y_{1}(t)=\cos(3t) é solução. Primeiro calculo as derivadas necessárias, explicando passo a passo como faço derivadas de funções trigonométricas compostas.
Regra usada: se u(t)=\cos(u(t)) com u(t)=3t, então por regra da cadeia a derivada é -\sin(u(t))\cdot u'(t). Aqui u'(t)=3.
Explicação do que significa “linearmente independentes” e “conjunto fundamental” (didático e direto).
Linearmente independentes (no contexto de soluções de uma EDO linear homogênea de segunda ordem) significa que não existem constantes a,b, não simultaneamente nulas, tais que a y_{1}(t)+b y_{2}(t)\equiv 0 para todo t no intervalo considerado.
Um “conjunto fundamental de soluções” para uma EDO linear homogênea de segunda ordem é um par de soluções linearmente independentes; qualquer solução geral da EDO pode ser escrita como combinação linear dessas duas.
Ferramenta prática para testar independência: o Wronskiano. Para duas funções y_{1},y_{2} define-se o Wronskiano
Se W(t_0)\neq 0 para algum t_0 do intervalo, então y_{1} e y_{2} são linearmente independentes em todo o intervalo. (Isto vem de um teorema padrão sobre ODEs lineares; aqui basta usar a propriedade prática.)]
Passo 5
Calcular o Wronskiano para y_{1}=\cos(3t) e y_{2}=\sin(3t). Já temos as derivadas dos passos anteriores:
O Wronskiano vale exatamente \,3 para todo t, ou seja, é diferente de zero para todo t. Logo y_{1} e y_{2} são linearmente independentes em \mathbb{R} (em qualquer intervalo real).
Passo 6
Conclusão sobre conjunto fundamental e solução geral.
Como encontramos duas soluções linearmente independentes de uma EDO linear homogênea de segunda ordem, elas formam um conjunto fundamental de soluções.
Portanto a solução geral da EDO é a combinação linear:
y(t)=C_{1}\cos(3t)+C_{2}\sin(3t),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinado por condições iniciais).