Expanda as expressões e simplifique-as.
i) \left(\frac{2 x}{3}-\frac{3}{2}\right) \cdot\left(\frac{3}{4}-\frac{x}{3}\right).
j) (12 x-5)(12 x+5)

Passo 1

O enunciado pede para expandir e simplificar duas expressões algébricas. As expressões dadas são:
  • (i) \left(\frac{2 x}{3}-\frac{3}{2}\right)\cdot\left(\frac{3}{4}-\frac{x}{3}\right).
  • (j) \,(12 x-5)(12 x+5).

Passo 2

Método que vamos usar (explicar de forma simples):
  • Para multiplicar dois parênteses usamos a propriedade distributiva: cada termo do primeiro parêntese multiplica cada termo do segundo parêntese, e somam-se os resultados. Por exemplo, se temos (a+b)(c+d) então o produto é a\cdot c + a\cdot d + b\cdot c + b\cdot d.
  • Para produtos com frações, multiplica-se numerador com numerador e denominador com denominador e depois simplifica-se a fração quando possível.
  • Há um caso especial que facilita a vida: (A-B)(A+B)=A^{2}-B^{2}. Isso é útil para o item (j).

Passo 3

Vamos resolver (i) passo a passo aplicando a distributiva. Escrevendo os termos:
\left(\frac{2x}{3}-\frac{3}{2}\right)\left(\frac{3}{4}-\frac{x}{3}\right)
Aplicando a distributiva temos quatro produtos:
\frac{2x}{3}\cdot\frac{3}{4},\quad \frac{2x}{3}\cdot\left(-\frac{x}{3}\right),\quad -\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{4},\quad -\frac{3}{2}\cdot\left(-\frac{x}{3}\right).

Passo 4

Calcular cada um desses produtos e simplificar frações:
  • Primeiro: \displaystyle \frac{2x}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{2x\cdot3}{3\cdot4}=\frac{6x}{12}=\frac{x}{2}.
  • Segundo: \displaystyle \frac{2x}{3}\cdot\left(-\frac{x}{3}\right)=-\frac{2x^{2}}{9}.
  • Terceiro: \displaystyle -\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{4}=-\frac{9}{8}.
  • Quarto: \displaystyle -\frac{3}{2}\cdot\left(-\frac{x}{3}\right)=+\frac{3x}{6}=\frac{x}{2}.

Passo 5

Somar todos os termos obtidos (agrupar termos semelhantes):
\frac{x}{2}-\frac{2x^{2}}{9}-\frac{9}{8}+\frac{x}{2}.
Juntando \frac{x}{2}+\frac{x}{2}=x, obtemos:
-\frac{2}{9}x^{2}+x-\frac{9}{8}.
Essa é a forma expandida e simplificada do item (i). (Pode-se ordenar por potências decrescentes de x.)

Passo 6

Agora o item (j). Observa-se a forma (12x-5)(12x+5). Isso tem a estrutura (A-B)(A+B) com A=12x e B=5. Pelo caso especial:
(A-B)(A+B)=A^{2}-B^{2}.
Logo aplicando:
(12x-5)(12x+5)=(12x)^{2}-5^{2}=144x^{2}-25.

Passo 7

Resumo rápido — verificação: no item (i) o termo quadrático veio de multiplicações que produzem x^{2} com coeficiente -\tfrac{2}{9}; o termo linear resulta da soma das duas metades \tfrac{x}{2}+\tfrac{x}{2}=x; o termo constante é -\tfrac{9}{8}. No item (j) é a diferença de quadrados, resultado simples 144x^{2}-25.

Resposta

-\dfrac{2}{9}x^{2}+x-\dfrac{9}{8}
144x^{2}-25

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