Calcule as expressões abaixo, simplificando o resultado. Sempre que necessário, suponha que os termos no interior das raízes são não negativos e que os denominadores são diferentes de zero.
\frac{(\sqrt{2 x}+\sqrt{5})(\sqrt{2 x}-\sqrt{5})}{(x-5)^{2}-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular e simplificar a expressão
\frac{(\sqrt{2 x}+\sqrt{5})(\sqrt{2 x}-\sqrt{5})}{(x-5)^{2}-x^{2}}.
Informações e condições dadas (ou necessárias):
  • Está implícito que os termos dentro das raízes são não negativos, então deve valer \,2x\ge0.
  • Deve-se supor que o denominador é diferente de zero (ou então indicar os pontos excluídos).
  • A tarefa é simplificar algebraicamente a fração e apresentar o resultado simplificado.

Passo 2

Analisar o domínio (condições para a expressão estar definida):
  • A raiz \sqrt{2x} existe em números reais se e somente se \,2x\ge0, isto é
x\ge0.
  • O denominador não pode ser zero. Vamos calcular o denominador em função de x (faremos isso em detalhe no próximo passo), mas desde já lembre que precisaremos excluir qualquer x que anule o denominador.

Passo 3

Simplificar o numerador usando a identidade diferença de quadrados. Lembrete rápido: para quaisquer números a e b,
(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}.
Aqui tomamos a=\sqrt{2x} e b=\sqrt{5}. Portanto o numerador fica
(\sqrt{2x}+\sqrt{5})(\sqrt{2x}-\sqrt{5})=(\sqrt{2x})^{2}-(\sqrt{5})^{2}=2x-5.

Passo 4

Calcular e simplificar o denominador. Primeiro expandir (x-5)^{2}:
(x-5)^{2}=x^{2}-10x+25.
Agora subtrair x^{2}:
(x-5)^{2}-x^{2}=(x^{2}-10x+25)-x^{2}=-10x+25.
Fatorando o termo comum -5 obtemos
-10x+25=-5(2x-5).

Passo 5

Reescrever a fração com as formas simplificadas de numerador e denominador:
\frac{(\sqrt{2 x}+\sqrt{5})(\sqrt{2 x}-\sqrt{5})}{(x-5)^{2}-x^{2}} =\frac{2x-5}{-5(2x-5)}.
Agora aplicar a regra de cancelamento de fatores: se A e B são números e A\neq0, então \dfrac{A\cdot C}{A\cdot D}=\dfrac{C}{D}. Aqui o fator comum é 2x-5. Desde que 2x-5\neq0 (ou seja, x\neq\dfrac{5}{2}), podemos cancelar 2x-5 e obter
\frac{2x-5}{-5(2x-5)}=-\frac{1}{5}.

Passo 6

Tratar o caso em que não é possível cancelar: se 2x-5=0, isto é x=\dfrac{5}{2}, então tanto o numerador quanto o denominador valem zero (0/0), o que torna a expressão original indefinida. Além disso, pela condição de existência de \sqrt{2x} temos x\ge0. Conclui-se que a simplificação -\dfrac{1}{5} vale para todos os x tais que x\ge0 e x\neq\dfrac{5}{2}.

Resposta

-\dfrac{1}{5} para x\ge0 e x\neq\dfrac{5}{2}

Exercícios relacionados