Calcule as expressões abaixo, simplificando o resultado. Sempre que necessário, suponha que os termos no interior das raízes são não negativos e que os denominadores são diferentes de zero.
Passo 1
O enunciado pede para calcular e simplificar a expressão
Informações e condições dadas (ou necessárias):
- Está implícito que os termos dentro das raízes são não negativos, então deve valer
. - Deve-se supor que o denominador é diferente de zero (ou então indicar os pontos excluídos).
- A tarefa é simplificar algebraicamente a fração e apresentar o resultado simplificado.
Passo 2
Analisar o domínio (condições para a expressão estar definida):
- A raiz
existe em números reais se e somente se , isto é
- O denominador não pode ser zero. Vamos calcular o denominador em função de
(faremos isso em detalhe no próximo passo), mas desde já lembre que precisaremos excluir qualquer que anule o denominador.
Passo 3
Simplificar o numerador usando a identidade diferença de quadrados. Lembrete rápido: para quaisquer números
e
,
Aqui tomamos
e
. Portanto o numerador fica
Passo 4
Calcular e simplificar o denominador. Primeiro expandir
:
Agora subtrair
:
Fatorando o termo comum
obtemos
Passo 5
Reescrever a fração com as formas simplificadas de numerador e denominador:
Agora aplicar a regra de cancelamento de fatores: se
e
são números e
, então
. Aqui o fator comum é
. Desde que
(ou seja,
), podemos cancelar
e obter
Passo 6
Tratar o caso em que não é possível cancelar: se
, isto é
, então tanto o numerador quanto o denominador valem zero (0/0), o que torna a expressão original indefinida. Além disso, pela condição de existência de
temos
. Conclui-se que a simplificação
vale para todos os
tais que
e
.