Calcule as expressões abaixo e simplifique o resultado quando possível.
\frac{3 u^{3} v^{3}}{v^{5} u^{2}}+\frac{u^{2}}{v^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular e simplificar a expressão
\frac{3 u^{3} v^{3}}{v^{5} u^{2}}+\frac{u^{2}}{v^{2}}.
Informações dadas que vamos usar:
  • As letras u e v são variáveis.
  • Há divisões por u e por v, então devemos assumir u\neq0 e v\neq0 para que tudo faça sentido.

Passo 2

Lembra das regras de potências que vamos usar (mini-aulinha): quando dividimos potências com a mesma base, subtraímos os expoentes. Em fórmulas:
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n},
onde a é uma base não nula e m,n são inteiros (ou reais). Exemplo simples: \dfrac{2^{5}}{2^{3}}=2^{5-3}=2^{2}=4.

Passo 3

Aplicamos a regra a cada base do primeiro termo \dfrac{3 u^{3} v^{3}}{v^{5} u^{2}}. Separe a constante e as bases:
\frac{3 u^{3} v^{3}}{v^{5} u^{2}}=3\cdot\frac{u^{3}}{u^{2}}\cdot\frac{v^{3}}{v^{5}}.
Agora subtraímos expoentes em cada fração:
\frac{u^{3}}{u^{2}}=u^{3-2}=u^{1}=u, \qquad \frac{v^{3}}{v^{5}}=v^{3-5}=v^{-2}.
Portanto o primeiro termo fica
3\cdot u\cdot v^{-2}=3u\,v^{-2}.

Passo 4

Explique o v^{-2}: uma potência com expoente negativo é o inverso da potência positiva correspondente:
v^{-2}=\frac{1}{v^{2}}.
Assim 3u\,v^{-2}=\dfrac{3u}{v^{2}}. Agora reescrevemos a expressão completa com o mesmo denominador:
\frac{3u}{v^{2}}+\frac{u^{2}}{v^{2}}.

Passo 5

Como as duas frações têm o mesmo denominador \,v^{2}, somamos os numeradores:
\frac{3u}{v^{2}}+\frac{u^{2}}{v^{2}}=\frac{3u+u^{2}}{v^{2}}.
Podemos fatorar u no numerador para ficar mais simples:
\frac{3u+u^{2}}{v^{2}}=\frac{u(3+u)}{v^{2}}.
Opcionalmente trocar a ordem em 3+u para u+3 fica mais convencional: \dfrac{u(u+3)}{v^{2}}.

Resposta

\dfrac{u(u+3)}{v^{2}}

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