Calcule as expressões abaixo e simplifique o resultado quando possível.
\frac{x}{x^{2}-9}-\frac{3 x-1}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular e simplificar a expressão
\frac{x}{x^{2}-9}-\frac{3x-1}{x-3}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Há duas frações racionais para subtrair.
  • Os denominadores são x^{2}-9 e x-3.
    Condição importante (domínio): qualquer valor que zere um denominador é proibido. Portanto x\neq 3 e x\neq -3.

Passo 2

Identificar e fatorar denominadores para encontrar o denominador comum. Vamos fatorar x^{2}-9. Isso é uma diferença de quadrados; a fórmula é
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aplicando com a=x e b=3,
x^{2}-9=(x-3)(x+3).

Passo 3

Determinar o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores. Os denominadores originais são x^{2}-9 e x-3. Como x^{2}-9=(x-3)(x+3), o MMC é
(x-3)(x+3).
Isso serve como denominador comum para realizar a subtração.

Passo 4

Reescrever cada fração com o denominador comum (x-3)(x+3).
A primeira fração já tem esse denominador:
\frac{x}{x^{2}-9}=\frac{x}{(x-3)(x+3)}.
A segunda fração tem denominador x-3; para obter (x-3)(x+3) multiplicamos numerador e denominador por (x+3):
\frac{3x-1}{x-3}=\frac{(3x-1)(x+3)}{(x-3)(x+3)}.

Passo 5

Colocar as duas frações sobre o mesmo denominador e subtrair os numeradores:
\frac{x}{(x-3)(x+3)}-\frac{(3x-1)(x+3)}{(x-3)(x+3)} =\frac{x-(3x-1)(x+3)}{(x-3)(x+3)}.

Passo 6

Expandir o produto no numerador (3x-1)(x+3) passo a passo:
(3x-1)(x+3)=3x\cdot x + 3x\cdot 3 -1\cdot x -1\cdot 3.
Calculando cada termo:
3x\cdot x=3x^{2},\qquad 3x\cdot 3=9x,\qquad -1\cdot x=-x,\qquad -1\cdot 3=-3.
Somando:
(3x-1)(x+3)=3x^{2}+9x-x-3=3x^{2}+8x-3.

Passo 7

Substituir na expressão do numerador e simplificar os termos semelhantes:
x-(3x^{2}+8x-3)=x-3x^{2}-8x+3.
Agrupando termos semelhantes:
x-8x=-7x,
portanto
x-(3x^{2}+8x-3)=-3x^{2}-7x+3.

Passo 8

Escrever a expressão final simplificada (já com o numerador reduzido). Como não há fator comum que cancele com o denominador (x-3)(x+3) (verificação: tentar fatorar -3x^{2}-7x+3 e checar discriminante), a forma simplificada é
\frac{-3x^{2}-7x+3}{(x-3)(x+3)}.
Se preferir, pode-se retirar um sinal negativo do numerador:
-\frac{3x^{2}+7x-3}{(x-3)(x+3)}.

Passo 9

Verificação rápida sobre fatoração do numerador: para 3x^{2}+7x-3 a discriminante é
\Delta=7^{2}-4\cdot 3\cdot (-3)=49+36=85,
que não é quadrado perfeito. Logo o numerador não fatoriza em fatores lineares racionais e não há cancelamento com o denominador.

Resposta

\displaystyle \frac{-3x^{2}-7x+3}{x^{2}-9} (com x\neq 3,\;x\neq -3)

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