Calcule as expressões abaixo e simplifique o resultado quando possível.
Passo 1
O enunciado pede para calcular e simplificar a expressão
Informações dadas e observações imediatas:
- Numerador da primeira fração:
. - Denominadores:
e . - Questão pede simplificar quando possível (ou seja, cancelar fatores comuns).
- Importante: a expressão original não está definida quando algum denominador é zero; portanto
e . (Isso é informação extraída diretamente dos denominadores.)
Passo 2
Vamos fatorar o polinômio do numerador
. Fatorar um quadrático significa escrevê-lo como produto de dois binômios lineares, se possível. Para isso procuramos dois números cuja soma seja o coeficiente de
(aqui
) e cujo produto seja o termo constante (aqui
).
Procurando tais números:
e
funcionam porque
Portanto podemos fatorar:
Como checagem rápida, multiplica-se os fatores:
que é exatamente o polinômio original.
Passo 3
Substituindo a fatoração na expressão original obtemos
Agora observe os fatores iguais no numerador e denominador:
- Há um fator
no numerador da primeira fração e um no denominador da mesma fração — eles podem ser anulados. - Há um fator
no numerador (da primeira fração) e um no denominador da segunda fração — eles também podem ser anulados.
Fazendo os cancelamentos (válidos apenas se os fatores cancelados não forem zero, ou seja,
e
), sobra
Passo 4
Comentário didático: o que fizemos foi simplificar por fatores comuns. Sempre que uma fração tem um fator comum no numerador e no denominador, esse fator pode ser cancelado, mas deve-se lembrar de anotar as restrições de domínio (valores que zeram algum denominador antes da simplificação). Um pequeno teste numérico para verificar: se
,
e a expressão simplificada
para
dá
. Está consistente (desde que
não seja
nem
).
Passo 5
Resumo do que foi feito:
- Fatorei o numerador
como . - Substituí e cancelei os fatores
e . - Registrei as restrições de domínio
e .