Calcule as expressões abaixo e simplifique o resultado quando possível.
\left(\frac{x^{2}-4 x-12}{x+2}\right) \cdot\left(\frac{2 x+1}{x-6}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular e simplificar a expressão
\left(\frac{x^{2}-4 x-12}{x+2}\right)\cdot\left(\frac{2 x+1}{x-6}\right).
Informações dadas e observações imediatas:
  • Numerador da primeira fração: x^{2}-4x-12.
  • Denominadores: x+2 e x-6.
  • Questão pede simplificar quando possível (ou seja, cancelar fatores comuns).
  • Importante: a expressão original não está definida quando algum denominador é zero; portanto x\neq -2 e x\neq 6. (Isso é informação extraída diretamente dos denominadores.)

Passo 2

Vamos fatorar o polinômio do numerador x^{2}-4x-12. Fatorar um quadrático significa escrevê-lo como produto de dois binômios lineares, se possível. Para isso procuramos dois números cuja soma seja o coeficiente de x (aqui -4) e cujo produto seja o termo constante (aqui -12).
Procurando tais números: -6 e 2 funcionam porque
-6+2=-4 \qquad\text{e}\qquad (-6)\cdot 2=-12.
Portanto podemos fatorar:
x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2).
Como checagem rápida, multiplica-se os fatores:
(x-6)(x+2)=x^{2}+2x-6x-12=x^{2}-4x-12,
que é exatamente o polinômio original.

Passo 3

Substituindo a fatoração na expressão original obtemos
\left(\frac{(x-6)(x+2)}{x+2}\right)\cdot\left(\frac{2x+1}{x-6}\right).
Agora observe os fatores iguais no numerador e denominador:
  • Há um fator x+2 no numerador da primeira fração e um x+2 no denominador da mesma fração — eles podem ser anulados.
  • Há um fator x-6 no numerador (da primeira fração) e um x-6 no denominador da segunda fração — eles também podem ser anulados.
Fazendo os cancelamentos (válidos apenas se os fatores cancelados não forem zero, ou seja, x\neq -2 e x\neq 6), sobra
2x+1.

Passo 4

Comentário didático: o que fizemos foi simplificar por fatores comuns. Sempre que uma fração tem um fator comum no numerador e no denominador, esse fator pode ser cancelado, mas deve-se lembrar de anotar as restrições de domínio (valores que zeram algum denominador antes da simplificação). Um pequeno teste numérico para verificar: se x=0,
\text{original}=\left(\frac{0^{2}-0-12}{0+2}\right)\cdot\left(\frac{1}{0-6}\right)=\left(\frac{-12}{2}\right)\cdot\left(\frac{1}{-6}\right)=(-6)\cdot\left(-\tfrac{1}{6}\right)=1,
e a expressão simplificada 2x+1 para x=0 1. Está consistente (desde que x não seja -2 nem 6).

Passo 5

Resumo do que foi feito:
  • Fatorei o numerador x^{2}-4x-12 como (x-6)(x+2).
  • Substituí e cancelei os fatores x+2 e x-6.
  • Registrei as restrições de domínio x\neq -2 e x\neq 6.

Resposta

2x+1,\; x\neq -2,\; x\neq 6

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