Calcule as expressões abaixo e simplifique o resultado quando possível.
\frac{5 x}{x-4}+\frac{3}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular e simplificar a soma
\frac{5x}{x-4}+\frac{3}{x+1}.
Informações relevantes que já temos:
  • As duas parcelas são frações algébricas (racionais).
  • Domínio: x não pode anular nenhum denominador, ou seja x\neq4 e x\neq-1.
    O objetivo é somar as duas frações e simplificar o resultado, se possível.

Passo 2

Ideia para somar frações racionais (explicação didática):
  • Para somar duas frações é preciso ter o mesmo denominador (o denominador comum).
  • O denominador comum mais simples aqui é o produto dos dois denominadores, pois não há fator em comum aparente entre x-4 e x+1.
    Portanto o mínimo denominador comum (MMC) será
(x-4)(x+1).

Passo 3

Reescrevo cada fração com o denominador comum, multiplicando numerador e denominador pelo fator que falta:
  • A primeira fração \dfrac{5x}{x-4} deve ser multiplicada por \dfrac{x+1}{x+1}.
  • A segunda fração \dfrac{3}{x+1} deve ser multiplicada por \dfrac{x-4}{x-4}.
    Assim:
\frac{5x}{x-4}=\frac{5x(x+1)}{(x-4)(x+1)}, \qquad \frac{3}{x+1}=\frac{3(x-4)}{(x-4)(x+1)}.

Passo 4

Somando as duas frações já com o mesmo denominador:
\frac{5x(x+1)}{(x-4)(x+1)}+\frac{3(x-4)}{(x-4)(x+1)} = \frac{5x(x+1)+3(x-4)}{(x-4)(x+1)}.

Passo 5

Faço a expansão e simplificação do numerador passo a passo:
5x(x+1)=5x^2+5x, \qquad 3(x-4)=3x-12.
Somando:
5x^2+5x+3x-12=5x^2+8x-12.
Logo a soma fica
\frac{5x^2+8x-12}{(x-4)(x+1)}.

Passo 6

Verifico se o numerador pode ser fatorado de modo a cancelar algum fator do denominador (ou seja, se há cancelamento com x-4 ou x+1).
Cálculo do discriminante para tentar fatorar 5x^2+8x-12:
\Delta=b^2-4ac=8^2-4\cdot5\cdot(-12)=64+240=304.
\Delta=304=16\cdot19, então \sqrt{\Delta}=4\sqrt{19}. As raízes são
x=\frac{-8\pm4\sqrt{19}}{2\cdot5}=\frac{-8\pm4\sqrt{19}}{10},
que não são racionais; portanto 5x^2+8x-12 não se fatoriza em fatores racionais com coeficientes inteiros. Também posso checar diretamente que o numerador não se anula em x=4 nem em x=-1:
5(4)^2+8(4)-12=80+32-12=100\neq0, \qquad 5(-1)^2+8(-1)-12=5-8-12=-15\neq0.
Portanto não há cancelamento com os fatores x-4 ou x+1.

Passo 7

Conclusão e forma final simplificada: a soma foi reduzida a uma única fração com denominador comum, o numerador não admite fatoração racional que cancele o denominador, e devemos manter as restrições de domínio x\neq4 e x\neq-1. Vai dar certo na prova — respira, você fez certinho!

Resposta

\displaystyle \frac{5x^2+8x-12}{(x-4)(x+1)}

Exercícios relacionados