Calcule as expressões abaixo e simplifique o resultado quando possível.
\left(\frac{2 x^{2}+8 x}{x-5}\right) \cdot\left(\frac{x^{2}-25}{4 x^{2}+20 x}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular e simplificar a expressão
\left(\frac{2 x^{2}+8 x}{x-5}\right) \cdot\left(\frac{x^{2}-25}{4 x^{2}+20 x}\right).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Numeradores: 2x^{2}+8x e x^{2}-25.
  • Denominadores: x-5 e 4x^{2}+20x.
  • Pontos onde a expressão original fica indefinida (valores proibidos): x tal que x-5=0 ou 4x^{2}+20x=0. Ou seja, x\neq 5 e 4x^{2}+20x\neq 0.

Passo 2

Para simplificar frações algébricas precisamos fatorar polinômios e cancelar fatores comuns. Vou relembrar duas técnicas de fatoração que vamos usar:
  • Fator comum: se todos os termos de um polinômio têm um fator em comum, podemos colocá‑lo em evidência. Ex.: ax+ay=a(x+y).
  • Diferença de quadrados: para quaisquer a e b vale \,a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). Ex.: x^{2}-25=(x-5)(x+5) porque 25=5^{2}.

Passo 3

Aplicando fator comum e diferença de quadrados aos polinômios que aparecem:
  • Fatora‑se 2x^{2}+8x por fator comum 2x:
2x^{2}+8x = 2x(x+4).
  • Usa‑se diferença de quadrados em x^{2}-25:
x^{2}-25 = (x-5)(x+5).
  • Fatora‑se 4x^{2}+20x por fator comum 4x:
4x^{2}+20x = 4x(x+5).

Passo 4

Substituindo as fatorações na expressão original obtemos
\left(\frac{2x(x+4)}{x-5}\right)\cdot\left(\frac{(x-5)(x+5)}{4x(x+5)}\right).
Agora vamos identificar fatores iguais no numerador e denominador que podem ser cancelados (lembrando que só se pode cancelar fatores não nulos; os valores que anulam um denominador já foram listados no Passo 1).

Passo 5

Cancelar os fatores comuns passo a passo:
  • O fator (x-5) aparece no numerador da segunda fração e no denominador da primeira: cancela‑se (x-5).
  • O fator (x+5) aparece no numerador da segunda fração e no denominador da segunda fração: cancela‑se (x+5).
  • O fator x aparece em 2x no numerador da primeira fração e em 4x no denominador da segunda fração: ao cancelar x sobra a razão entre os coeficientes 2 e 4.
Após esses cancelamentos restam os coeficientes e o fator (x+4), isto é:
\frac{2(x+4)}{4}.

Passo 6

Simplificar a razão de coeficientes 2/4 dividindo numerador e denominador por 2 (o máximo divisor comum):
\frac{2(x+4)}{4} = \frac{1(x+4)}{2}.
Lembrando os valores proibidos pela expressão original: x\neq 5 (porque anulava x-5), e x\neq 0 ou x\neq -5 (porque anulavam 4x(x+5)). Esses valores continuam proibidos mesmo após simplificar a expressão algébrica.

Resposta

\dfrac{x+4}{2},\; x\neq -5,0,5

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