Calcule as expressões.
f) \left|\frac{2 x}{3}\\right|-\frac{|x|}{6}

Passo 1

O enunciado pede para calcular (simplificar) a expressão
\left|\dfrac{2 x}{3}\right|-\dfrac{|x|}{6}.
Informações dadas:
  • A expressão envolve valor absoluto de termos com a variável \,x.
  • Não há restrição adicional sobre \,x, logo \,x é um número real qualquer.
    O objetivo é simplificar essa expressão, escrevendo-a numa forma mais simples em função de |x| ou de x.

Passo 2

Relembrando propriedades do valor absoluto que vamos usar (explicação didática):
  • Definição: para todo real \,x\), \[|x| = \begin{cases} x, & \text{se } x \ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x < 0. \end{cases}
Isto significa que |x|\] é sempre não negativo e representa a distância de \(x até zero na reta.
  • Propriedade importante de multiplicação: para quaisquer reais \,a e \,x,
|a x| = |a|\,|x|.
Explicação rápida do porquê: se a for não negativo então |a x| = a|x| = |a|\,|x|; se a for negativo então |a x| = -a|x| = |a|\,|x|. Em todos os casos vale a igualdade acima.
  • Para uma fração com numerador multiplicado por x, aplica-se a mesma propriedade: por exemplo, \left|\dfrac{2x}{3}\right| = \left|\dfrac{2}{3}\right|\,|x|.]

Passo 3

Aplicando a propriedade ao primeiro termo da expressão:
\left|\dfrac{2 x}{3}\right| = \left|\dfrac{2}{3}\right|\,|x|.
Como \dfrac{2}{3} é positivo, tem-se \left|\dfrac{2}{3}\right|=\dfrac{2}{3}. Logo
\left|\dfrac{2 x}{3}\right| = \dfrac{2}{3}\,|x|.

Passo 4

Substituindo na expressão original:
\left|\dfrac{2 x}{3}\right|-\dfrac{|x|}{6} = \dfrac{2}{3}\,|x| - \dfrac{1}{6}\,|x|.
Agora fatoramos |x| em evidência:
\dfrac{2}{3}\,|x| - \dfrac{1}{6}\,|x| = \left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6}\right)|x|.
Efetuando a subtração de frações: colocar denominador comum 6,
\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}, \quad\text{então}\quad \dfrac{4}{6}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}.ã
Portanto
\left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6}\right)|x|=\dfrac{1}{2}\,|x|.

Passo 5

Verificação com exemplos numéricos rápidos para ficar seguro:
  • Se \,x=3: \left|\dfrac{2\cdot3}{3}\right|-\dfrac{|3|}{6}=|2|- \dfrac{3}{6}=2-\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}. Nossa fórmula dá \dfrac{1}{2}|3|=\dfrac{1}{2}\cdot3=\dfrac{3}{2}. Confere.
  • Se \,x=-6: \left|\dfrac{2(-6)}{3}\right|-\dfrac{|-6|}{6}=|-4|-\dfrac{6}{6}=4-1=3. Nossa fórmula dá \dfrac{1}{2}|-6|=\dfrac{1}{2}\cdot6=3. Confere.

Resposta

\dfrac{1}{2}\,|x|

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