Calcule as expressões.
f) \left|\frac{2 x}{3}\\right|-\frac{|x|}{6}
Passo 1
O enunciado pede para calcular (simplificar) a expressão \left|\dfrac{2 x}{3}\right|-\dfrac{|x|}{6}.
Informações dadas:
A expressão envolve valor absoluto de termos com a variável \,x.
Não há restrição adicional sobre \,x, logo \,x é um número real qualquer.
O objetivo é simplificar essa expressão, escrevendo-a numa forma mais simples em função de |x| ou de x.
Passo 2
Relembrando propriedades do valor absoluto que vamos usar (explicação didática):
Definição: para todo real \,x\),
\[|x| = \begin{cases} x, & \text{se } x \ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x < 0. \end{cases}
Isto significa que |x|\] é sempre não negativo e representa a distância de \(x até zero na reta.
Propriedade importante de multiplicação: para quaisquer reais \,a e \,x,
|a x| = |a|\,|x|.
Explicação rápida do porquê: se a for não negativo então |a x| = a|x| = |a|\,|x|; se a for negativo então |a x| = -a|x| = |a|\,|x|. Em todos os casos vale a igualdade acima.
Para uma fração com numerador multiplicado por x, aplica-se a mesma propriedade: por exemplo, \left|\dfrac{2x}{3}\right| = \left|\dfrac{2}{3}\right|\,|x|.]
Passo 3
Aplicando a propriedade ao primeiro termo da expressão:
Verificação com exemplos numéricos rápidos para ficar seguro:
Se \,x=3: \left|\dfrac{2\cdot3}{3}\right|-\dfrac{|3|}{6}=|2|- \dfrac{3}{6}=2-\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}. Nossa fórmula dá \dfrac{1}{2}|3|=\dfrac{1}{2}\cdot3=\dfrac{3}{2}. Confere.
Se \,x=-6: \left|\dfrac{2(-6)}{3}\right|-\dfrac{|-6|}{6}=|-4|-\dfrac{6}{6}=4-1=3. Nossa fórmula dá \dfrac{1}{2}|-6|=\dfrac{1}{2}\cdot6=3. Confere.