Calcule as expressões:
-\frac{2}{3} \cos \frac{3 \pi}{2}+\frac{3}{5} \cos \frac{5 \pi}{3}-\frac{6}{7} \cos \frac{7 \pi}{6}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da expressão
-\frac{2}{3}\cos\frac{3\pi}{2}+\frac{3}{5}\cos\frac{5\pi}{3}-\frac{6}{7}\cos\frac{7\pi}{6}.
Informações dadas:
  • Os ângulos envolvidos são \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3} e \frac{7\pi}{6}.
  • Precisa-se avaliar os cossenos desses ângulos e então efetuar as operações aritméticas indicadas.

Passo 2

Pequena revisão útil sobre valores notáveis de cosseno (unidade do círculo):
  • \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
  • \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}.
  • \cos\frac{\pi}{2}=0.
Esses valores vêm da construção geométrica do triângulo 30°–60°–90° e da posição no círculo trigonométrico. Vou usar também identidades de simetria:
  • \cos(2\pi-\theta)=\cos\theta.
  • \cos(\pi+\theta)=-\cos\theta.

Passo 3

Avaliar \cos\frac{3\pi}{2}.
\frac{3\pi}{2} corresponde a 270^\circ no círculo unitário, ponto em que a coordenada x (cosseno) vale 0. Logo:
\cos\frac{3\pi}{2}=0.

Passo 4

Avaliar \cos\frac{5\pi}{3}.
Escreve-se \frac{5\pi}{3}=2\pi-\frac{\pi}{3}. Usando \cos(2\pi-\theta)=\cos\theta e \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}, obtemos:
\cos\frac{5\pi}{3}=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Avaliar \cos\frac{7\pi}{6}.
Escreve-se \frac{7\pi}{6}=\pi+\frac{\pi}{6}. Usando \cos(\pi+\theta)=-\cos\theta e \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}, obtemos:
\cos\frac{7\pi}{6}=-\cos\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Substituir os cossenos encontrados na expressão original:
-\frac{2}{3}\cdot 0+\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}-\frac{6}{7}\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
Calcule termo a termo:
-\frac{2}{3}\cdot 0 = 0, \qquad \frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{10}, \qquad -\frac{6}{7}\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{6}{7}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}.
Simplificando o último produto:
\frac{6}{7}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{14}=\frac{3\sqrt{3}}{7}.

Passo 7

Somar os termos que restaram:
0+\frac{3}{10}+\frac{3\sqrt{3}}{7}=\frac{3}{10}+\frac{3\sqrt{3}}{7}.
Se quiser escrever em único quociente, colocar denominador comum 70:
\frac{3}{10}=\frac{21}{70},\qquad \frac{3\sqrt{3}}{7}=\frac{30\sqrt{3}}{70},
portanto
\frac{3}{10}+\frac{3\sqrt{3}}{7}=\frac{21+30\sqrt{3}}{70}.

Resposta

\dfrac{21+30\sqrt{3}}{70}

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