(3 pts) Considere a função
.
a) Determine a interseção do gráfico de
com os eixos coordenados, se houver.
b) Explique por que o gráfico de
não admite assíntotas horizontais.
c) Determine os intervalos em que
é crescente ou decrescente, bem como os pontos de máximo local ou de mínimo local, caso existam.
d) Determine os intervalos em que o gráfico de
é côncavo para baixo; os intervalos em que o gráfico de
é côncavo para cima; os pontos de inflexão, caso existam.
e) Usando os resultados dos itens acima, esboce o gráfico de
.
a) Determine a interseção do gráfico de
b) Explique por que o gráfico de
c) Determine os intervalos em que
d) Determine os intervalos em que o gráfico de
e) Usando os resultados dos itens acima, esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as seguintes coisas:
- (a) interseções do gráfico com os eixos coordenados (se existirem);
- (b) justificar por que o gráfico não admite assíntotas horizontais;
- (c) determinar os intervalos de crescimento/decrescimento e os pontos de máximo/minimo local, se houverem;
- (d) determinar os intervalos de concavidade (côncavo para cima/para baixo) e os pontos de inflexão, se existirem;
- (e) com tudo isso, esboçar o gráfico de
.
Informações relevantes que temos desde já:
- A função é polinomial (portanto está definida para todo
e é derivável quantas vezes quisermos). - Vamos precisar de
para crescimento/decrescimento e para concavidade; também usaremos limites na parte das assíntotas.
Passo 2
(a) Interseções com os eixos — vamos achar raízes (interseções com eixo
) e o intercepto em
.
- Interseção com o eixo
: é . Calculando,
Logo o ponto
é a interseção com o eixo
.
- Interseções com o eixo
: resolver .
As soluções são
(raiz de multiplicidade
) e
.
Portanto as interseções com o eixo
são
e
. Em coordenadas:
,
e
.
Passo 3
(b) Assíntotas horizontais — lembrete rápido: uma assíntota horizontal existe se
ou
for finito (então igual a esse valor). Vamos calcular os limites laterais.
Para
: como
é um polinômio de grau
com coeficiente líder positivo, o termo dominante é
. Logo
Para
: termo dominante
(ímpar), portanto
Como nenhum desses limites é finito, não existe assíntota horizontal para
nem para
. Conclusão: o gráfico não admite assíntotas horizontais.
Passo 4
(c) Crescimento / decrescimento — primeiro calculamos a derivada.
Derivando:
Fatorando:
As soluções de
são
(multiplicidade
) e
.
Agora fazemos o quadro de sinal de
. Observações úteis:
- O fator
e é zero apenas em . - O sinal de
é dado essencialmente pelo sinal de , isto é, positivo quando e negativo quando , exceto em onde .
Testando intervalos (ou raciocinando com os fatores):
- Para
: tem-se e , então → é crescente. - Para
: tem-se e , então → é decrescente. - Para
: idem, → é decrescente. - Para
: → é crescente.
Portanto:
-
é crescente em . -
é decrescente em .
Agora classificamos os pontos críticos:
- Em
, muda de positivo para negativo → ponto de máximo local. - Em
, muda de negativo para positivo → ponto de mínimo local. - Em
, não muda de sinal (negativo à esquerda e negativo à direita), portanto não é nem máximo nem mínimo local. É um ponto crítico de outro tipo (veremos que é ponto de inflexão estacionário).
Calculamos os valores de
nesses pontos para dar as coordenadas:
Pelo fato de
ser ímpar (
), temos
E já sabíamos
.
Então:
- Máximo local em
com valor . - Mínimo local em
com valor . - Em
há um ponto crítico sem ser extremum.
Passo 5
Comentário didático rápido sobre os testes usados:
- Teste de primeira derivada: se
muda de sinal de + para − num ponto, há máximo local; se muda de − para +, há mínimo local; se não muda, não há extremum. - É prático fatorar
para identificar zeros e seus sinais por intervalos (como fizemos).
Passo 6
(d) Concavidade e pontos de inflexão — calculamos a segunda derivada.
Derivando novamente:
Fatorando:
Resolver
dá
e
.
Fazemos o quadro de sinal de
para obter concavidade:
- Para
: e → produto → → concavo para baixo. - Para
: e → produto → → côncavo para cima. - Para
: e → produto → côncavo para baixo. - Para
: e → produto → côncavo para cima.
Portanto:
-
é côncava para baixo em . -
é côncava para cima em .
Os pontos onde
com mudança de concavidade são pontos de inflexão. Aqui temos três candidatos
e de fato em cada um a concavidade muda, logo são pontos de inflexão.
Calculamos os valores de
nesses pontos (valores exatos úteis para o esboço):
- Para
: . - Para
: usar . Então
- Pelo caráter ímpar da função,
Um comentário didático sobre
: já vimos que
e
. Quando
não dá para concluir; calculamos a derivada de ordem superior:
e
. Isso identifica
como ponto de inflexão estacionário (derivada primeira zero, concavidade muda).
Passo 7
Resumo das informações principais (valores exatos úteis para o esboço):
- Zeros (interseções com
-eixo): . - Interseção com
-eixo: . - Extremos locais:
- Máximo local:
. - Mínimo local:
.
- Máximo local:
- Pontos de inflexão:
-
, -
, -
.
-
- Crescimento/decrescimento:
- Crescente em
. - Decrescente em
.
- Crescente em
- Concavidade:
- Côncavo para baixo em
. - Côncavo para cima em
.
- Côncavo para baixo em
Passo 8
(e) Esboço do gráfico — instruções práticas para desenhar com segurança na prova (passo a passo):
- Marcar os zeros em
, , . - Marcar o máximo em
e o mínimo em . Esses pontos estão entre a origem e os zeros (pois e ). - Marcar os pontos de inflexão em
e em . Lembrar que em a curvatura troca e a tangente é horizontal (porque ). - Ligar as partes: à esquerda de
a função sobe (crescente) e está côncava para baixo até , depois muda para côncava para cima até , passando pelo máximo em antes da mudança de concavidade; entre e a função desce atravessando (ponto de inflexão estacionário) e é alternadamente côncava/convexa conforme os pontos de inflexão; para a função sobe novamente e para é côncava para cima. - Não esquecer que para grandes
o comportamento é dominado por : para vai para e para vai para . Isso garante as “caudas” do esboço.
Dica final para o desenho: como
é ímpar, o gráfico é simétrico por rotação de
em torno da origem; assim o lado esquerdo é a imagem do lado direito com sinais trocados, o que facilita muito o rascunho.
Resposta
(a) Interseções:
,
e
.
(b) Não admite assíntotas horizontais, pois
e
.
(c) Cresce em
. Decresce em
.
Máximo local em . Mínimo local em
.
é ponto crítico sem ser extremo.
Máximo local em
(d) Côncavo para baixo em
.
Côncavo para cima em .
Pontos de inflexão em com valores
e
.
Côncavo para cima em
Pontos de inflexão em
(e) Esboço: desenhar zeros em
e
; máximo em
; mínimo em
; pontos de inflexão em
e
; rabiscar curvas com as concavidades e crescimentos/decrescimentos indicados e caudas que tendem a
. (O gráfico é ímpar, portanto simétrico por rotação de
em torno da origem.)