(3 pts) Considere a função f(x)=x^{5}-5 x^{3}.
a) Determine a interseção do gráfico de f com os eixos coordenados, se houver.
b) Explique por que o gráfico de f não admite assíntotas horizontais.
c) Determine os intervalos em que f é crescente ou decrescente, bem como os pontos de máximo local ou de mínimo local, caso existam.
d) Determine os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para baixo; os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para cima; os pontos de inflexão, caso existam.
e) Usando os resultados dos itens acima, esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{5}-5x^{3} e pede as seguintes coisas:
  • (a) interseções do gráfico com os eixos coordenados (se existirem);
  • (b) justificar por que o gráfico não admite assíntotas horizontais;
  • (c) determinar os intervalos de crescimento/decrescimento e os pontos de máximo/minimo local, se houverem;
  • (d) determinar os intervalos de concavidade (côncavo para cima/para baixo) e os pontos de inflexão, se existirem;
  • (e) com tudo isso, esboçar o gráfico de f.
Informações relevantes que temos desde já:
  • A função é polinomial (portanto está definida para todo x\in\mathbb{R} e é derivável quantas vezes quisermos).
  • Vamos precisar de f'(x) para crescimento/decrescimento e f''(x) para concavidade; também usaremos limites na parte das assíntotas.

Passo 2

(a) Interseções com os eixos — vamos achar raízes (interseções com eixo x) e o intercepto em y.
  • Interseção com o eixo y: é f(0). Calculando,
f(0)=0^{5}-5\cdot 0^{3}=0.
Logo o ponto (0,0) é a interseção com o eixo y.
  • Interseções com o eixo x: resolver f(x)=0.
f(x)=x^{5}-5x^{3}=x^{3}\bigl(x^{2}-5\bigr)=0.
As soluções são x^{3}=0\Rightarrow x=0 (raiz de multiplicidade 3) e x^{2}-5=0\Rightarrow x=\pm\sqrt{5}.
Portanto as interseções com o eixo x são x=0 e x=\pm\sqrt{5}. Em coordenadas: (0,0), \bigl(\sqrt{5},0\bigr) e \bigl(-\sqrt{5},0\bigr).

Passo 3

(b) Assíntotas horizontais — lembrete rápido: uma assíntota horizontal existe se \lim_{x\to\infty}f(x) ou \lim_{x\to-\infty}f(x) for finito (então igual a esse valor). Vamos calcular os limites laterais.
Para x\to\infty: como f é um polinômio de grau 5 com coeficiente líder positivo, o termo dominante é x^{5}. Logo
\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty.
Para x\to-\infty: termo dominante x^{5} (ímpar), portanto
\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.
Como nenhum desses limites é finito, não existe assíntota horizontal para x\to\infty nem para x\to-\infty. Conclusão: o gráfico não admite assíntotas horizontais.

Passo 4

(c) Crescimento / decrescimento — primeiro calculamos a derivada.
Derivando:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{5}-5x^{3}\bigr)=5x^{4}-15x^{2}.
Fatorando:
f'(x)=5x^{2}\bigl(x^{2}-3\bigr)=5x^{2}(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}).
As soluções de f'(x)=0 são x=0 (multiplicidade 2) e x=\pm\sqrt{3}.
Agora fazemos o quadro de sinal de f'(x). Observações úteis:
  • O fator 5x^{2}\ge 0 e é zero apenas em x=0.
  • O sinal de f'(x) é dado essencialmente pelo sinal de (x^{2}-3), isto é, positivo quando |x|>\sqrt{3} e negativo quando |x|<\sqrt{3}, exceto em x=0 onde f'(0)=0.
Testando intervalos (ou raciocinando com os fatores):
  • Para x<-\sqrt{3}: tem-se x^{2}-3>0 e x^{2}>0, então f'(x)>0 f é crescente.
  • Para -\sqrt{3}<x<0: tem-se x^{2}-3<0 e x^{2}>0, então f'(x)<0 f é decrescente.
  • Para 0<x<\sqrt{3}: idem, f'(x)<0 f é decrescente.
  • Para x>\sqrt{3}: f'(x)>0 f é crescente.
Portanto:
  • f é crescente em (-\infty,-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3},\infty).
  • f é decrescente em (-\sqrt{3},\sqrt{3}).
Agora classificamos os pontos críticos:
  • Em x=-\sqrt{3}, f' muda de positivo para negativo → ponto de máximo local.
  • Em x=\sqrt{3}, f' muda de negativo para positivo → ponto de mínimo local.
  • Em x=0, f' não muda de sinal (negativo à esquerda e negativo à direita), portanto x=0 não é nem máximo nem mínimo local. É um ponto crítico de outro tipo (veremos que é ponto de inflexão estacionário).
Calculamos os valores de f nesses pontos para dar as coordenadas:
f(\sqrt{3})=(\sqrt{3})^{5}-5(\sqrt{3})^{3}=3^{\tfrac{5}{2}}-5\cdot 3^{\tfrac{3}{2}}=3^{\tfrac{3}{2}}\bigl(3-5\bigr)=-2\cdot 3^{\tfrac{3}{2}}=-6\sqrt{3}.
Pelo fato de f ser ímpar ( f(-x)=-f(x)), temos
f(-\sqrt{3})=6\sqrt{3}.
E já sabíamos f(0)=0.
Então:
  • Máximo local em x=-\sqrt{3} com valor f(-\sqrt{3})=6\sqrt{3}.
  • Mínimo local em x=\sqrt{3} com valor f(\sqrt{3})=-6\sqrt{3}.
  • Em x=0 há um ponto crítico sem ser extremum.

Passo 5

Comentário didático rápido sobre os testes usados:
  • Teste de primeira derivada: se f' muda de sinal de + para − num ponto, há máximo local; se muda de − para +, há mínimo local; se não muda, não há extremum.
  • É prático fatorar f' para identificar zeros e seus sinais por intervalos (como fizemos).

Passo 6

(d) Concavidade e pontos de inflexão — calculamos a segunda derivada.
Derivando novamente:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(5x^{4}-15x^{2}\bigr)=20x^{3}-30x.
Fatorando:
f''(x)=10x\bigl(2x^{2}-3\bigr)=10x\bigl( \,2x^{2}-3\,\bigr).
Resolver f''(x)=0 x=0 e 2x^{2}-3=0\Rightarrow x=\pm\sqrt{\tfrac{3}{2}}.
Fazemos o quadro de sinal de f'' para obter concavidade:
  • Para x<-\sqrt{\tfrac{3}{2}}: x<0 e 2x^{2}-3>0 → produto <0 f''(x)<0 → concavo para baixo.
  • Para -\sqrt{\tfrac{3}{2}}<x<0: x<0 e 2x^{2}-3<0 → produto >0 f''(x)>0 → côncavo para cima.
  • Para 0<x<\sqrt{\tfrac{3}{2}}: x>0 e 2x^{2}-3<0 → produto <0 → côncavo para baixo.
  • Para x>\sqrt{\tfrac{3}{2}}: x>0 e 2x^{2}-3>0 → produto >0 → côncavo para cima.
Portanto:
  • f é côncava para baixo em (-\infty,-\sqrt{\tfrac{3}{2}})\cup(0,\sqrt{\tfrac{3}{2}}).
  • f é côncava para cima em (-\sqrt{\tfrac{3}{2}},0)\cup(\sqrt{\tfrac{3}{2}},\infty).
Os pontos onde f''(x)=0 com mudança de concavidade são pontos de inflexão. Aqui temos três candidatos x=-\sqrt{\tfrac{3}{2}},\,0,\,\sqrt{\tfrac{3}{2}} e de fato em cada um a concavidade muda, logo são pontos de inflexão.
Calculamos os valores de f nesses pontos (valores exatos úteis para o esboço):
  • Para x=0: f(0)=0.
  • Para x=\sqrt{\tfrac{3}{2}}: usar f(x)=x^{3}(x^{2}-5). Então
f\!\bigl(\sqrt{\tfrac{3}{2}}\bigr)=\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^{\tfrac{3}{2}}\!\Bigl(\tfrac{3}{2}-5\Bigr)=\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^{\tfrac{3}{2}}\!\Bigl(-\tfrac{7}{2}\Bigr)=-\tfrac{7}{2}\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^{\tfrac{3}{2}}.
  • Pelo caráter ímpar da função,
f\!\bigl(-\sqrt{\tfrac{3}{2}}\bigr)=\tfrac{7}{2}\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^{\tfrac{3}{2}}.
Um comentário didático sobre x=0: já vimos que f'(0)=0 e f''(0)=0. Quando f''(0)=0 não dá para concluir; calculamos a derivada de ordem superior: f'''(x)=60x^{2}-30 e f'''(0)=-30\neq 0. Isso identifica x=0 como ponto de inflexão estacionário (derivada primeira zero, concavidade muda).

Passo 7

Resumo das informações principais (valores exatos úteis para o esboço):
  • Zeros (interseções com x-eixo): x=0,\pm\sqrt{5}.
  • Interseção com y-eixo: (0,0).
  • Extremos locais:
    • Máximo local: \bigl(-\sqrt{3},\,6\sqrt{3}\bigr).
    • Mínimo local: \bigl(\sqrt{3},\,-6\sqrt{3}\bigr).
  • Pontos de inflexão:
    • \bigl(-\sqrt{\tfrac{3}{2}},\,\tfrac{7}{2}\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{\tfrac{3}{2}}\bigr),
    • (0,0),
    • \bigl(\sqrt{\tfrac{3}{2}},\,-\tfrac{7}{2}\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{\tfrac{3}{2}}\bigr).
  • Crescimento/decrescimento:
    • Crescente em (-\infty,-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3},\infty).
    • Decrescente em (-\sqrt{3},\sqrt{3}).
  • Concavidade:
    • Côncavo para baixo em (-\infty,-\sqrt{\tfrac{3}{2}})\cup(0,\sqrt{\tfrac{3}{2}}).
    • Côncavo para cima em (-\sqrt{\tfrac{3}{2}},0)\cup(\sqrt{\tfrac{3}{2}},\infty).

Passo 8

(e) Esboço do gráfico — instruções práticas para desenhar com segurança na prova (passo a passo):
  1. Marcar os zeros em x=-\sqrt{5}, 0, \sqrt{5}.
  2. Marcar o máximo em \bigl(-\sqrt{3},6\sqrt{3}\bigr) e o mínimo em \bigl(\sqrt{3},-6\sqrt{3}\bigr). Esses pontos estão entre a origem e os zeros \pm\sqrt{5} (pois \sqrt{3}\approx1{,}732 e \sqrt{5}\approx2{,}236).
  3. Marcar os pontos de inflexão em \pm\sqrt{\tfrac{3}{2}} e em 0. Lembrar que em x=0 a curvatura troca e a tangente é horizontal (porque f'(0)=0).
  4. Ligar as partes: à esquerda de -\sqrt{3} a função sobe (crescente) e está côncava para baixo até -\sqrt{\tfrac{3}{2}}, depois muda para côncava para cima até 0, passando pelo máximo em -\sqrt{3} antes da mudança de concavidade; entre -\sqrt{3} e \sqrt{3} a função desce atravessando 0 (ponto de inflexão estacionário) e é alternadamente côncava/convexa conforme os pontos de inflexão; para x>\sqrt{3} a função sobe novamente e para x>\sqrt{\tfrac{3}{2}} é côncava para cima.
  5. Não esquecer que para grandes |x| o comportamento é dominado por x^{5}: para x\to\infty vai para +\infty e para x\to-\infty vai para -\infty. Isso garante as “caudas” do esboço.
Dica final para o desenho: como f é ímpar, o gráfico é simétrico por rotação de 180^\circ em torno da origem; assim o lado esquerdo é a imagem do lado direito com sinais trocados, o que facilita muito o rascunho.

Resposta

(a) Interseções: (0,0), \bigl(\sqrt{5},0\bigr) e \bigl(-\sqrt{5},0\bigr).
(b) Não admite assíntotas horizontais, pois \displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty e \displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.
(c) Cresce em (-\infty,-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3},\infty). Decresce em (-\sqrt{3},\sqrt{3}).
Máximo local em \bigl(-\sqrt{3},\,6\sqrt{3}\bigr). Mínimo local em \bigl(\sqrt{3},\,-6\sqrt{3}\bigr). x=0 é ponto crítico sem ser extremo.
(d) Côncavo para baixo em (-\infty,-\sqrt{\tfrac{3}{2}})\cup(0,\sqrt{\tfrac{3}{2}}).
Côncavo para cima em (-\sqrt{\tfrac{3}{2}},0)\cup(\sqrt{\tfrac{3}{2}},\infty).
Pontos de inflexão em x=-\sqrt{\tfrac{3}{2}},\,0,\,\sqrt{\tfrac{3}{2}} com valores f\!\bigl(\pm\sqrt{\tfrac{3}{2}}\bigr)=\mp\tfrac{7}{2}\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{\tfrac{3}{2}} e f(0)=0.
(e) Esboço: desenhar zeros em \pm\sqrt{5} e 0; máximo em \bigl(-\sqrt{3},6\sqrt{3}\bigr); mínimo em \bigl(\sqrt{3},-6\sqrt{3}\bigr); pontos de inflexão em \pm\sqrt{\tfrac{3}{2}} e 0; rabiscar curvas com as concavidades e crescimentos/decrescimentos indicados e caudas que tendem a \pm\infty. (O gráfico é ímpar, portanto simétrico por rotação de 180^\circ em torno da origem.)

Exercícios relacionados