Calcule as expressões:
3 \cos \frac{\pi}{2}-2 \cos \frac{5 \pi}{4}+\frac{1}{2} \cos \pi

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor da expressão
3\cos\frac{\pi}{2}-2\cos\frac{5\pi}{4}+\frac{1}{2}\cos\pi.
Informações dadas (os ângulos que aparecem):
  • \frac{\pi}{2},
  • \frac{5\pi}{4},
  • \pi.

Passo 2

Idea do método (sem resolver ainda): avaliar separadamente os cossenos \cos\frac{\pi}{2}, \cos\frac{5\pi}{4} e \cos\pi usando propriedades da circunferência trigonométrica e identidades trigonométricas simples; em seguida substituir esses valores na expressão e simplificar aritmeticamente. Vou explicar bem cada cosseno para você entender como fazer rápido na prova.

Passo 3

Conhecimentos úteis e por que eles valem:
  • Na circunferência trigonométrica, \cos do ângulo mede a coordenada x do ponto correspondente. Isso nos dá fórmulas padrão para ângulos notáveis.
  • Valores conhecidos:
    • \cos\frac{\pi}{2}=0. (No ângulo de 90^\circ a coordenada x é zero.)
    • \cos\pi=-1. (No ângulo de 180^\circ a coordenada x é -1.)
    • Para \cos\frac{5\pi}{4}: observe que \frac{5\pi}{4}=\pi+\frac{\pi}{4}. Para um ângulo na forma \pi+\theta vale a identidade \cos(\pi+\theta)=-\cos\theta.Assim \cos\frac{5\pi}{4}=\cos\!\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)=-\cos\frac{\pi}{4}.
    • E \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}. (ângulo de 45^\circ.)

Passo 4

Aplicando os valores encontrados:
  • \cos\frac{\pi}{2}=0.
  • \cos\frac{5\pi}{4}=-\cos\frac{\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • \cos\pi=-1.

Passo 5

Substituir na expressão original e simplificar passo a passo:
Primeiro reescrevo a expressão e substituo cada cosseno:
3\cos\frac{\pi}{2}-2\cos\frac{5\pi}{4}+\frac{1}{2}\cos\pi =3\cdot 0 -2\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\frac{1}{2}\cdot(-1).
Agora calculo termo a termo:
3\cdot 0 = 0,
-2\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=+2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=+\sqrt{2},
\frac{1}{2}\cdot(-1)=-\frac{1}{2}.
Somando tudo:
0 + \sqrt{2} - \frac{1}{2} = \sqrt{2} - \frac{1}{2}.

Passo 6

Interpretação rápida: o único trabalho foi lembrar os valores padrão dos cossenos em ângulos notáveis e aplicar a identidade de deslocamento por \pi. Na prova, memorize \cos 0=\!1, \cos\frac{\pi}{6}=\!\frac{\sqrt{3}}{2}, \cos\frac{\pi}{4}=\!\frac{\sqrt{2}}{2}, \cos\frac{\pi}{3}=\!\frac{1}{2}, \cos\frac{\pi}{2}=0, \cos\pi=-1 e use simetrias como \cos(\pi+\theta)=-\cos\theta para ângulos fora do primeiro quadrante. Vai dar certo — você consegue!

Resposta

\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}

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