Calcule as expressōes.
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}+\frac{2 \sqrt{8}}{\sqrt{3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}+\frac{2\sqrt{8}}{\sqrt{3}}.
Informações dadas:
  • Há soma de duas frações com o mesmo denominador \sqrt{3}.
  • Aparecem raízes: \sqrt{2} e \sqrt{8}.

Passo 2

Regra útil sobre radicais que usaremos: para números não negativos vale
\sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}.
Isso permite simplificar raízes que têm fatores quadrados perfeitos. Exemplo rápido: \sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=\sqrt{4}\,\sqrt{2}=2\sqrt{2}.

Passo 3

Aplicando a simplificação da raiz ao termo \sqrt{8}:
\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Logo o segundo termo da expressão fica
\frac{2\sqrt{8}}{\sqrt{3}}=\frac{2\cdot(2\sqrt{2})}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Agora somamos as duas frações que têm o mesmo denominador \sqrt{3}. Somando numeradores:
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}+\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.
Aqui usei que \sqrt{2} e 4\sqrt{2} são termos semelhantes (ambos múltiplos de \sqrt{2}).

Passo 5

É comum racionalizar o denominador (retirar a raiz do denominador). Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{3}:
\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{\sqrt{3}\,\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{6}}{3},
pois \sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{6} e \sqrt{3}\sqrt{3}=3.

Resposta

\displaystyle \frac{5\sqrt{6}}{3}

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